Какие две последние цифры суммы можно получить, если сложить числа (2017 по 0) + 4 (2017 по 1) + 16 (2017 по 2)

Артем_7149

16

Задача заключается в вычислении двух последних цифр суммы следующего выражения:

\[S = (2017^0) + 4(2017^1) + 16(2017^2) + \ldots + 4^{2017}(2017^{2017})\]

Для того чтобы упростить задачу, разобьем ее на две части. Посмотрим на выражение \((2017^0) + 4(2017^1) + 16(2017^2) + \ldots\).

Заметим, что каждое слагаемое можно выразить как \(4^i \times (2017^i)\), где \(i\) - порядковый номер слагаемого, начиная с нуля. Таким образом, это выражение можно представить следующим образом:

\[(4^0 \times 2017^0) + (4^1 \times 2017^1) + (4^2 \times 2017^2) + \ldots \]

Если мы внимательно посмотрим на это выражение, то заметим, что это сумма геометрической прогрессии с первым членом \(a = (4^0 \times 2017^0)\) и знаменателем \(r = (4 \times 2017)\).

Так как данная геометрическая прогрессия растет, то она имеет сумму, которую мы можем найти по формуле:

\[S_1 = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\]

где \(n\) - количество слагаемых в нашей прогрессии. В нашем случае, \(n = 2017 + 1 = 2018\), так как у нас 2017 слагаемых + 1 изначальное число.

Подставив в формулу наши значения, получим:

\[S_1 = \frac{(4^0 \times 2017^0)(1 - (4 \times 2017)^{2018})}{1 - (4 \times 2017)}\]

Теперь давайте рассмотрим вторую часть данной задачи. Мы должны найти последние две цифры у числа \(4^{2017}(2017^{2017})\). Заметим, что фактор 2017 не влияет на последние две цифры, так как он является частью большого множителя.

Рассмотрим только \(4^{2017}\). Для того чтобы узнать последние две цифры этого числа, можно взять только две последние цифры у \(4^1\), повторить эту последовательность 2017 раз и взять две последние цифры результата.

Так как \(4^1 = 4\), будем повторять \(4\) 2017 раз:

\(4 \times 4 \times 4 \times \ldots \times 4\).

Нам нужно знать только две последние цифры каждого множителя. Посмотрим на цепочку:

\(4, 16, 64, 256, \ldots\).

Заметим, что последние две цифры образуют цикличную последовательность \(4, 16, 64, 56, 24, 96, 84, 36, 44, \ldots\).

Как можно видеть, эта последовательность повторяется каждые 20 множителей. Так как в нашем случае у нас 2017 множителей, мы можем разделить 2017 на 20 и найти остаток от деления. В нашем случае, 2017 делится на 20, с остатком 17.

Таким образом, последние две цифры для \(4^{2017}\) будут такие же, как у 17-го множителя в нашей циклической последовательности, то есть 96.

Теперь возвращаемся к изначальному вопросу. Мы должны найти последние две цифры для выражения:

\[S = (2017^0) + 4(2017^1) + 16(2017^2) + \ldots + 4^{2017}(2017^{2017})\]

Мы уже вычислили первую часть \(S_1\), которая равна:

\[S_1 = \frac{(4^0 \times 2017^0)(1 - (4 \times 2017)^{2018})}{1 - (4 \times 2017)}\]

Теперь остается только прибавить последние две цифры \(4^{2017}(2017^{2017})\), которые мы уже найдем и которые равны 96.

\[S = S_1 + 96\]

Таким образом, чтобы найти две последние цифры суммы, необходимо сложить \(S_1\) и 96.

Пожалуйста, используйте калькулятор или программу для вычисления данного выражения.