Какие геометрические тела образуются при вращении прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 5 см вокруг

Tatyana

40

Для ответа на этот вопрос нам потребуется использовать понятие образования геометрических тел при вращении фигуры вокруг оси. В данном случае нас интересует вращение прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 5 см вокруг его большого и меньшего катетов.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг его большого катета мы получим конус. При этом, больший катет будет являться основанием конуса, а гипотенуза - образует боковую поверхность. Радиус основания конуса равен половине длины большого катета, то есть \(r = \frac{5}{2} \, \text{см}\). Нужно также найти длину образованной боковой поверхности конуса. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника:
\[c^2 = a^2 + b^2\],
где \(c\) - гипотенуза, а \(a\) и \(b\) - катеты.
Подставив значения катетов, получим:
\[c^2 = 1^2 + 5^2\]
\[c^2 = 1 + 25\]
\[c^2 = 26\]
\[c = \sqrt{26} \, \text{см}\]

Теперь можно найти длину боковой поверхности конуса, которая равна длине окружности основания. Для этого воспользуемся формулой окружности:
\[L = 2\pi r\],
где \(L\) - длина окружности, а \(r\) - радиус.
Подставив значение радиуса, получим:
\[L = 2\pi \cdot \frac{5}{2} = 5\pi \, \text{см}\].

Таким образом, при вращении прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 5 см вокруг его большого катета образуется конус с радиусом основания \(r = \frac{5}{2} \, \text{см}\) и длиной боковой поверхности \(L = 5\pi \, \text{см}\).

Аналогично, при вращении прямоугольного треугольника вокруг его меньшего катета мы получим другой конус. В данном случае меньший катет будет являться радиусом основания конуса, а гипотенуза - боковой поверхностью. Мы уже вычислили длину гипотенузы, которая равна \(\sqrt{26} \, \text{см}\). Теперь нужно найти длину окружности основания конуса. Для этого снова используем формулу для окружности:
\[L = 2\pi r\].
Подставим значение радиуса:
\[L = 2\pi \cdot 1 = 2\pi \, \text{см}\].

Итак, при вращении прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 5 см вокруг его меньшего катета образуется конус с радиусом основания \(r = 1 \, \text{см}\) и длиной боковой поверхности \(L = 2\pi \, \text{см}\).

Осталось сравнить площади боковых поверхностей этих двух конусов. Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле:
\[S = \pi r l\],
где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(r\) - радиус основания, \(l\) - длина образующей.
Подставим значения для каждого конуса:

Для первого конуса:
\[S_1 = \pi \cdot \left(\frac{5}{2}\right) \cdot \sqrt{26} \, \text{см}^2 = \frac{5\sqrt{26}}{2} \, \text{см}^2\]

Для второго конуса:
\[S_2 = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{26} \, \text{см}^2 = \sqrt{26}\pi \, \text{см}^2\]

Теперь можно сравнить площади боковых поверхностей:
\[S_1 : S_2 = \frac{\frac{5\sqrt{26}}{2}}{\sqrt{26}\pi} = \frac{5}{2\pi} \approx 0.7958\]

Таким образом, площадь боковой поверхности первого конуса примерно в 0.7958 раза больше, чем площадь боковой поверхности второго конуса.

Надеюсь, данное объяснение и вычисления помогут вам лучше понять, какие геометрические тела образуются при вращении прямоугольного треугольника вокруг его большого и меньшего катетов, а также сравнить площади их боковых поверхностей. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте.