Какие интервалы характеризуют монотонное изменение функции f(x) = x^3/3 - x^2/2

Марат_7400

26

Хорошо, давайте посмотрим на функцию \(f(x) = \frac{{x^3}}{{3}} - \frac{{x^2}}{{2}}\) и определим интервалы, на которых она изменяется монотонно.

Для начала, давайте найдем производную этой функции. Чтобы найти производную, возьмем производные каждого слагаемого и сложим их. Производная функции \(f(x)\) будет равна \(f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{x^3}}{{3}} - \frac{{x^2}}{{2}}\right)\).

Вычислим производную:
\[f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{x^3}}{{3}}\right) - \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{x^2}}{{2}}\right)\]

Продифференцируем каждое слагаемое:

1) Производная слагаемого \(\frac{{x^3}}{{3}}\):
\[\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{x^3}}{{3}}\right) = \frac{{3x^2}}{{3}} = x^2\]

2) Производная слагаемого \(-\frac{{x^2}}{{2}}\):
\[\frac{{d}}{{dx}}\left(-\frac{{x^2}}{{2}}\right) = -\frac{{2x}}{{2}} = -x\]

Таким образом, производная \(f"(x)\) равна:
\[f"(x) = x^2 - x\]

Теперь, когда мы нашли производную, мы можем определить интервалы монотонности функции \(f(x)\). Чтобы это сделать, мы должны проанализировать знак производной на разных интервалах.

1) Когда \(f"(x)\) больше нуля, функция \(f(x)\) возрастает. То есть, \(f(x)\) увеличивается при движении отлево направо.

2) Когда \(f"(x)\) меньше нуля, функция \(f(x)\) убывает. То есть, \(f(x)\) уменьшается при движении отлево направо.

3) Когда \(f"(x)\) равна нулю, функция \(f(x)\) имеет экстремумы (минимумы или максимумы).

Теперь рассмотрим знаки производной \(f"(x)\). Решим уравнение \(f"(x) = 0\) для нахождения возможных точек экстремума функции \(f(x)\).

\[x^2 - x = 0\]

Чтобы решить это уравнение, нужно вынести общий множитель.
\[x(x - 1) = 0\]

Из этого уравнения мы получаем два значения \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1\).

Теперь, используя значения \(x_1\) и \(x_2\), мы можем построить таблицу интервалов, где на каждом интервале указываем знак производной \(f"(x)\).

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{Знак } f"(x) \\
\hline
(-\infty, 0) & - \\
\hline
(0, 1) & + \\
\hline
(1,\infty) & - \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, исходя из этой таблицы, мы можем сделать следующие выводы:

1) На интервале \((- \infty, 0)\), производная \(f"(x)\) отрицательна, следовательно, функция \(f(x)\) убывает на этом интервале.

2) На интервале \((0, 1)\), производная \(f"(x)\) положительна, следовательно, функция \(f(x)\) возрастает на этом интервале.

3) На интервале \((1, \infty)\), производная \(f"(x)\) снова отрицательна, следовательно, функция \(f(x)\) убывает на этом интервале.

Таким образом, интервалы, характеризующие монотонное изменение функции \(f(x) = \frac{{x^3}}{{3}} - \frac{{x^2}}{{2}}\) следующие:

1) Функция \(f(x)\) убывает на интервале \((- \infty, 0)\).
2) Функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((0, 1)\).
3) Функция \(f(x)\) убывает на интервале \((1, \infty)\).