Какие интервалы монотонности и экстремумы у функции f(x)=1/3x^3+3/2x^2-4x+2?

Сердце_Огня_7798

27

Для определения интервалов монотонности и нахождения экстремумов функции \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-4x+2\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Шаг: Найдите производную функции \(f"(x)\) путем дифференцирования исходной функции \(f(x)\).
\[f"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-4x+2\right)\]
Вычислим производную для каждого члена по отдельности:
\[\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) = x^2\]
\[\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) = 3x\]
\[\frac{d}{dx}(-4x) = -4\]
Производная функции \(f"(x)\) равна:
\[f"(x) = x^2 + 3x - 4\]

2. Шаг: Найдите точки, где производная функции равна нулю, и решите уравнение \(f"(x) = 0\) для нахождения критических точек.
\[x^2 + 3x - 4 = 0\]
Решив это квадратное уравнение, получим:
\[x = -4, \quad x = 1\]
Таким образом, критические точки функции находятся при \(x = -4\) и \(x = 1\).

3. Шаг: Исследуйте знак производной на интервалах между и после критических точек для определения интервалов монотонности и нахождения экстремумов.
Для этого построим таблицу знаков производной \(f"(x)\):

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -4 & 1 & +\infty \\
\hline
f"(x) & ? & 0 & ? & ? \\
\hline
\end{array}
\]

4. Шаг: Определите знак производной на разных интервалах, используя критические точки:
- На интервале \((-\infty, -4)\), возьмем, например, \(x = -5\). Получаем:
\[f"(-5) = (-5)^2 + 3(-5) - 4 = 9 > 0\]
Таким образом, на этом интервале производная положительна (\(f"(x) > 0\)).
- В точке \(x = -4\): \(f"(-4) = 0\).
- На интервале \((-4, 1)\), возьмем, например, \(x = 0\). Получаем:
\[f"(0) = 0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0\]
Таким образом, на этом интервале производная отрицательна (\(f"(x) < 0\)).
- В точке \(x = 1\): \(f"(1) = 0\).
- На интервале \((1, +\infty)\), возьмем, например, \(x = 2\). Получаем:
\[f"(2) = 2^2 + 3(2) - 4 = 10 > 0\]
Таким образом, на этом интервале производная положительна (\(f"(x) > 0\)).

5. Шаг: Определите интервалы монотонности и экстремумы функции, используя результаты предыдущего шага:
- Функция \(f(x)\) возрастает на интервалах \((-\infty, -4)\) и \((1, +\infty)\).
- Функция \(f(x)\) убывает на интервале \((-4, 1)\).
- Минимум функции находится в точке \(x = 1\) со значением \(f(1)\).
- Максимум функции находится в точке \(x = -4\) со значением \(f(-4)\).

Интервалы монотонности и экстремумы функции \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-4x+2\) можно представить в следующей форме:

\[
\begin{align*}
\text{Монотонность:} & \quad (-\infty, -4) \text{ (возрастание)}, \quad (-4, 1) \text{ (убывание)}, \quad (1, +\infty) \text{ (возрастание)} \\
\text{Экстремумы:} & \quad \text{Минимум в точке } x = 1 \text{ со значением } f(1), \\
& \quad \text{Максимум в точке } x = -4 \text{ со значением } f(-4).
\end{align*}
\]

Это полный ответ на задачу. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, обращайтесь!