а) Найдите третье слагаемое в разложении при возрастании степени х для выражения (3x + 1)^5 и запишите коэффициент

Загадочный_Эльф_2698

12

Хорошо, давайте решим оба пункта задачи.

a) Найдем третье слагаемое в разложении выражения \((3x + 1)^5\) при возрастании степени \(x\) и запишем коэффициент при \(x\).

Для этого воспользуемся биномиальной теоремой, которая гласит:

\((a + b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + ... + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n\),

где \(C_n^k\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\).

В нашем случае \(a = 3x\) и \(b = 1\), а \(n = 5\). Применим формулу для нахождения коэффициента третьего слагаемого:

\(C_5^2 \cdot (3x)^{5-2} \cdot 1^2\).

Рассчитаем выражение:

\(C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\).

Теперь найдем третье слагаемое:

\(10 \cdot (3x)^3 \cdot 1^2 = 10 \cdot 27x^3 = 270x^3\).

Таким образом, третье слагаемое в разложении выражения \((3x + 1)^5\) при возрастании степени \(x\) равно \(270x^3\), а коэффициент при \(x\) равен 270.

б) Теперь решим вторую часть задачи. Найдем третье слагаемое в разложении выражения \((1 - x)^5\) при возрастании степени \(x\) и запишем коэффициент при \(x\).

Применяем ту же биномиальную теорему:

\((1 - x)^5 = C_5^0 \cdot 1^5 \cdot (-x)^0 + C_5^1 \cdot 1^4 \cdot (-x)^1 + C_5^2 \cdot 1^3 \cdot (-x)^2 + ... + C_5^5 \cdot 1^0 \cdot (-x)^5\).

Найдем третье слагаемое, то есть коэффициент при \(x^3\):

\(C_5^2 \cdot 1^3 \cdot (-x)^2\).

Вычислим значение:

\(C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\).

Теперь найдем третье слагаемое:

\(10 \cdot 1^3 \cdot (-x)^2 = 10 \cdot (-x)^2 = 10x^2\).

Таким образом, третье слагаемое в разложении выражения \((1 - x)^5\) при возрастании степени \(x\) равно \(10x^2\), а коэффициент при \(x\) равен 10.