Какие комплексные числа нужно изобразить на плоскости, используя координатную плоскость? Также, пожалуйста, выразите

Юлия

29

Комплексные числа представляются на плоскости с помощью координатной системы, подобной той, которую вы уже изучили. На горизонтальной оси мы откладываем вещественные числа, а на вертикальной оси - мнимые числа. Таким образом, комплексные числа можно представить точками на плоскости.

Чтобы обозначить комплексное число, мы используем следующую нотацию: \(a + bi\), где \(a\) - вещественная часть числа, а \(b\) - мнимая часть числа.

Теперь рассмотрим выражение в тригонометрической форме:

а) -4: Представим число -4 на плоскости. В данном случае вещественная часть равна -4, а мнимая часть равна 0, поскольку это вещественное число. Точка на плоскости будет находиться на отрицательной стороне горизонтальной оси, на расстоянии 4 единиц от начала координат.

б) i: Чтобы представить число i, мы смотрим на его мнимую часть, которая равна 1, а вещественная часть равна 0. Поэтому точка будет находиться на положительной стороне вертикальной оси, на расстоянии 1 единицы от начала координат.

в) 1-i: Это комплексное число с вещественной частью, равной 1, и мнимой частью, равной -1. На плоскости эта точка будет находиться во втором квадранте, на единичном расстоянии от начала координат. Она будет выше горизонтальной оси и налево от вертикальной оси.

Теперь рассмотрим представление этих чисел в тригонометрической форме, которое выражает их с использованием радиуса и угла:

а) -4: В тригонометрической форме число -4 будет записываться как \(4\cdot(\cos(\pi)+i\sin(\pi))\). Таким образом, радиус равен 4, а угол равен \(\pi\) (или 180 градусов).

б) i: Число i в тригонометрической форме будет иметь вид \(1\cdot(\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2))\). Радиус равен 1, а угол равен \(\pi/2\) (или 90 градусов).

в) 1-i: В данном случае число 1-i можно представить как \(\sqrt{2}\cdot(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4))\). Радиус равен \(\sqrt{2}\), а угол равен \(7\pi/4\) (или 315 градусов).

Таким образом, мы можем изобразить комплексные числа на плоскости и выразить их в тригонометрической форме, используя радиус и угол. Надеюсь, эти объяснения позволяют вам лучше понять представление комплексных чисел на плоскости.