Какие комплексные числа являются сопряженными своим квадратом?

Aleksandrovich

46

Хорошо, пошагово рассмотрим эту задачу и найдем комплексные числа, которые являются сопряженными своим квадратом.

1. Предположим, что данное комплексное число записано в алгебраической форме: \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) - вещественные числа, а \(i\) - мнимая единица.

2. Возведем это число в квадрат: \(z^2 = (a + bi)^2\).

3. Раскроем квадрат: \(z^2 = a^2 + 2abi - b^2\).

4. Теперь нужно найти комплексное число, которое является сопряженным этому квадрату, то есть число, в котором мнимая часть меняет знак. Обозначим сопряженное число как \(\overline{z^2} = a^2 - 2abi - b^2\).

5. Теперь произведем сравнение \(\overline{z^2} = z\), для этого:

- Приравняем действительные части: \(a^2 - b^2 = a\).
- Приравняем мнимые части: \(-2ab = b\).

6. Решим первое уравнение: \(a^2 - b^2 = a\).

Выразим переменную \(a\): \(a = \frac{b^2}{b^2 + 1}\).

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение и решим его:

\(-2 \cdot \frac{b^2}{b^2 + 1} \cdot b = b\).

Упростим уравнение: \(-2b^3 - 2b = b\).

Перенесем все слагаемые на одну сторону: \(-2b^3 - 3b = 0\).

7. Факторизуем левую часть уравнения: \(-b(2b^2 + 3) = 0\).

Решим это уравнение, используя нулевое свойство произведения:

\(-b = 0\) или \(2b^2 + 3 = 0\).

Если \(-b = 0\), то \(b = 0\).

Если \(2b^2 + 3 = 0\), то \(b^2 = -\frac{3}{2}\), что является невозможным для вещественных чисел.

8. Таким образом, получаем два возможных решения: \(b = 0\) и \(b = \sqrt{-\frac{3}{2}}\).

- Если \(b = 0\), то \(a = \frac{0^2}{0^2 + 1} = 0\), и комплексное число \(z\) принимает вид \(z = 0 + 0i\).

- Если \(b = \sqrt{-\frac{3}{2}}\), то \(a = \frac{\left(\sqrt{-\frac{3}{2}}\right)^2}{\left(\sqrt{-\frac{3}{2}}\right)^2 + 1} = -\frac{3}{5}\), и комплексное число \(z\) принимает вид \(z = -\frac{3}{5} + \sqrt{-\frac{3}{2}}i\).

9. Таким образом, два комплексных числа сопряженными своим квадратом являются: \(0 + 0i\) и \(-\frac{3}{5} + \sqrt{-\frac{3}{2}}i\).

Надеюсь, данный подробный ответ помог вам понять, какие комплексные числа являются сопряженными своим квадратом. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.