Какие координаты точек графика функции f(x) = 1/3x^3 + 5x^2 - 1, в которых касательные параллельны оси абсцисс?

Сквозь_Волны

64

Для того чтобы найти координаты точек, в которых касательные функции f(x) = \(\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 - 1\) параллельны оси абсцисс, нам нужно определить значения x, при которых производная функции равна нулю. Производная функции показывает наклон касательной.

Для начала, найдём производную функции \(f(x)\).
\[f"(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 - 1)" = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) + \frac{d}{dx}(5x^2) - \frac{d}{dx}(1)\]
число 1 можно не дифференцировать, так как это константа и производная от константы равна нулю.
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) + \frac{d}{dx}(5x^2) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2 \cdot 5x\]
\[f"(x) = x^2 + 10x\]
Теперь нам нужно найти значения x, при которых f"(x) = 0.
\[x^2 + 10x = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения, используем метод факторизации:
\[x(x + 10) = 0\]

Теперь мы имеем две возможности:

1. x = 0
2. x + 10 = 0, следовательно x = -10

Таким образом, точки графика функции f(x), в которых касательные параллельны оси абсцисс, имеют следующие координаты:

1. (0, f(0)) - координата, когда x = 0.
2. (-10, f(-10)) - координата, когда x = -10.

Теперь мы можем найти соответствующие значения y, подставив найденные значения x в исходную функцию:
1. (0, f(0)) = (0, \(\frac{1}{3} \cdot 0^3 + 5 \cdot 0^2 - 1\)) = (0, -1)
2. (-10, f(-10)) = (-10, \(\frac{1}{3} \cdot (-10)^3 + 5 \cdot (-10)^2 - 1\)) = (-10, 299)

Таким образом, координаты точек графика функции \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 5x^2 - 1\), в которых касательные параллельны оси абсцисс, равны (0, -1) и (-10, 299).