Какие координаты точки м соответствуют комплексному числу: z=(5i-2)/(3i+1)+i+8i-3/2-i?

Сирень_9552

33

Для начала, давайте преобразуем данное выражение с комплексными числами к более простой форме. Затем мы вычислим реальную и мнимую части и определим координаты точки м.

Итак, у нас дано следующее выражение:

\[z = \frac{5i-2}{3i+1}+i+8i-\frac{3}{2}-i\]

Чтобы упростить это выражение, мы должны выполнить сложение и вычитание комплексных чисел по отдельности.

Сначала складываем и вычитаем только числа \(i\):

\[z = \frac{5i-2}{3i+1} + (i+8i-i)\]
\[= \frac{5i-2}{3i+1} + 8i\]

Теперь, чтобы сложить числа \(i\), давайте приведем их к общему знаменателю:

\[z = \frac{5i-2}{3i+1} + \frac{8i(3i+1)}{3i+1}\]
\[= \frac{5i-2}{3i+1} + \frac{24i^2+8i}{3i+1}\]

Теперь, нам нужно учесть, что \(i\) возводится в квадрат, равный \(-1\). Подставим это значение:

\[z = \frac{5i-2}{3i+1} + \frac{24(-1)+8i}{3i+1}\]
\[= \frac{5i-2}{3i+1} + \frac{-24+8i}{3i+1}\]

Теперь объединяем два слагаемых в одну дробь:

\[z = \frac{(5i-2)+(-24+8i)}{3i+1}\]
\[= \frac{5i-2-24+8i}{3i+1}\]
\[= \frac{13i-26}{3i+1}\]

Таким образом, мы получили выражение \(z = \frac{13i-26}{3i+1}\).

Чтобы найти координаты точки м, нам нужно найти реальную и мнимую части этого числа.

Для этого, умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное конгруэнтное выражение знаменателя \( (3i+1) \):

\[z = \frac{(13i-26)(3i-1)}{(3i+1)(3i-1)}\]

Распространим числитель:

\[z = \frac{39i^2-13i-78i+26}{9i^2-1}\]
\[= \frac{-39-91i}{9(-1)-1}\]
\[= \frac{-39-91i}{-9-1}\]
\[= \frac{-39-91i}{-10}\]

Теперь поделим числитель на -10:

\[z = -\frac{-39}{10} - \frac{91i}{10}\]
\[= \frac{39}{10} + \frac{91i}{10}\]

Итак, мы получаем координаты точки м:

\(x = \frac{39}{10}\) (реальная часть)

\(y = \frac{91}{10}\) (мнимая часть)

Таким образом, координаты точки м равны \(\left(\frac{39}{10}, \frac{91}{10}\right)\).