1. С учетом того, что a < 0 и x1 = 5, каково количество действительных корней уравнения ax^4 + bx^2 + 4 = 0? 2. Какое

Лесной_Дух

15

Задача 1:
У нас есть уравнение \(ax^4 + bx^2 + 4 = 0\), где \(a < 0\) и \(x_1 = 5\). Мы должны определить количество действительных корней у этого уравнения.

Для начала, давайте решим это уравнение пошагово:

1. Подставим значение \(x_1 = 5\) в уравнение:
\(a(5^4) + b(5^2) + 4 = 0\)

2. Упростим это выражение:
\(625a + 25b + 4 = 0\)

3. Теперь у нас есть уравнение, содержащееся в одной переменной. Обратите внимание, что мы знаем, что \(a < 0\). Давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: Если \(a < 0\), то уравнение \(625a + 25b + 4 = 0\) может иметь два действительных корня.
Для этого случая нам необходимо найти второй корень уравнения.

Подставим второй корень \(x_2\) в уравнение и решим его для \(b\):

\(a(5^4) + b(5^2) + 4 = 0\)
\(a(25) + b(5) + 4 = 0\)
\(625a + 5b + 4 = 0\)

Мы знаем, что это уравнение имеет корень \(x_2\), поэтому мы можем подставить \(x_2 = 5\) и решить его для \(b\):

\(625a + 5b + 4 = 0\) при \(x_2 = 5\)
\(625a + 5b + 4 = 0\)
\(625a + 25 + 4 = 0\)
\(625a + 29 = 0\)
\(625a = -29\)
\(a = -\frac{29}{625}\)

Таким образом, при \(a = -\frac{29}{625}\) и \(x_2 = 5\) уравнение \(ax^4 + bx^2 + 4 = 0\) имеет два действительных корня.

Случай 2: Если \(a < 0\), то уравнение \(625a + 25b + 4 = 0\) может иметь один действительный корень.
Для этого случая нам необходимо найти такое значение переменной \(b\), чтобы уравнение имело только один корень.

Переставим уравнение:

\(625a + 25b + 4 = 0\)
\(625a = -25b - 4\)
\(a = -\frac{25b}{625} - \frac{4}{625}\)
\(a = -\frac{b}{25} - \frac{4}{625}\)

Мы видим, что \(a\) зависит от \(b\). Чтобы уравнение имело только один корень, необходимо, чтобы \(a\) и \(b\) одновременно равнялись нулю. Но мы знаем, что \(a < 0\), поэтому это невозможно. Следовательно, во втором случае уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, в зависимости от значений \(a\) и \(b\) уравнение \(ax^4 + bx^2 + 4 = 0\) может иметь два или ноль действительных корней.

Задача 2:
У нас есть выражение \((4a-1)(4a+1) + 3b(3b-8a)\), и нам нужно найти его минимальное значение.

Давайте упростим это выражение пошагово:

1. Раскроем скобки:
\((16a^2 - 1) + (9b^2 - 24ab)\)

2. Сгруппируем подобные термины:
\(16a^2 + 9b^2 - 24ab - 1\)

3. Минимальное значение этого выражения будет достигаться, когда сумма \(16a^2\) и \(9b^2\) будет минимальной, а выражение \(- 24ab\) максимальным.

4. Выражение \(16a^2 + 9b^2\) — это квадратичная функция, и мы знаем, что ее минимум будет достигаться в вершине параболы. Формула вершины параболы имеет вид: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(x_0\) — координата x-координаты вершины параболы.

Применим эту формулу к нашему выражению \(16a^2 + 9b^2\):
\(x_0 = -\frac{0}{2(16)}\)
\(x_0 = 0\)

5. Теперь мы знаем, что \(a = 0\), и можем найти значение \(b\), которое максимизирует выражение \(-24ab\). Нам нужно выбрать значение \(b\), чтобы произведение \(ab\) было максимальным.

Если \(a = 0\), то произведение \(ab\) всегда будет равно нулю, независимо от значения \(b\). Следовательно, выражение \(- 24ab\) будет равно нулю.

Итак, минимальное значение выражения \((4a-1)(4a+1) + 3b(3b-8a)\) равно 0.

Это подробное и пошаговое решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я с удовольствием помогу.