Какие координаты точки пересечения двух прямых, одна из которых проходит через точки A=(11;6) и B=(3;7), а вторая

Mark_1335

41

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, нужно найти их уравнения и решить систему уравнений. Для этого воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой по двум точкам.

Для первой прямой:
Используем точки A=(11;6) и B=(3;7).
Коэффициент наклона (k) первой прямой равен: $$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Подставляем значения точек A и B в формулу: $$k=\frac{7-6}{3-11}=\frac{1}{-8}$$
Теперь зная точку A и коэффициент наклона (k), можем записать уравнение первой прямой в форме: $$y-y_1=k(x-x_1)$$
Подставляем значения точки A и коэффициент наклона (k): $$y-6=\frac{1}{-8}(x-11)$$
Упростим уравнение: $$y-6=-\frac{1}{8}x+\frac{11}{8}$$
Приведем к общему виду: $$y=-\frac{1}{8}x+\frac{11}{8}+6$$
Упростим: $$y=-\frac{1}{8}x+\frac{11+48}{8}$$
Упростим дальше: $$y=-\frac{1}{8}x+\frac{59}{8}$$
Таким образом, у нас получилось уравнение первой прямой.

Проделаем те же действия для второй прямой:
Используем точки C=(-16;5) и D=(-23;6).
Коэффициент наклона (k) второй прямой равен: $$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Подставляем значения точек C и D в формулу: $$k=\frac{6-5}{-23-(-16)}=\frac{1}{-7}$$
Теперь зная точку C и коэффициент наклона (k), можем записать уравнение второй прямой в форме: $$y-y_1=k(x-x_1)$$
Подставляем значения точки C и коэффициент наклона (k): $$y-5=\frac{1}{-7}(x-(-16))$$
Упростим уравнение: $$y-5=-\frac{1}{7}(x+16)$$
Приведем к общему виду: $$y=-\frac{1}{7}x-\frac{16}{7}+5$$
Упростим: $$y=-\frac{1}{7}x-\frac{16+35}{7}$$
Упростим дальше: $$y=-\frac{1}{7}x-\frac{51}{7}$$
Таким образом, у нас получилось уравнение второй прямой.

Чтобы найти точку пересечения прямых, решим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{8}x+\frac{59}{8}\\ y=-\frac{1}{7}x-\frac{51}{7}\end{array}$$

Подставляем одно уравнение в другое:

$$-\frac{1}{8}x+\frac{59}{8}=-\frac{1}{7}x-\frac{51}{7}$$

Для решения этого уравнения перенесем все слагаемые с x на одну сторону, а все свободные члены на другую:

$$-\frac{1}{8}x+\frac{1}{7}x=-\frac{51}{7}-\frac{59}{8}$$

Сделаем общий знаменатель для дробей:

$$-\frac{7}{8\cdot 7}x+\frac{8}{8\cdot 7}x=-\frac{51\cdot 8}{7\cdot 8}-\frac{59\cdot 7}{8\cdot 7}$$

$$-\frac{7}{56}x+\frac{8}{56}x=-\frac{408}{56}-\frac{413}{56}$$

Теперь складываем дроби:

$$-\frac{7}{56}x+\frac{8}{56}x=-\frac{408+413}{56}$$

Сокращаем дроби:

$$-\frac{7}{56}x+\frac{8}{56}x=-\frac{821}{56}$$

Теперь складываем слагаемые с x:

$$-\frac{7+8}{56}x=-\frac{821}{56}$$

$$-\frac{15}{56}x=-\frac{821}{56}$$

Домножаем обе части уравнения на -56:

$$15x=821$$

Используя обратную операцию, делим обе части на 15:

$$x=\frac{821}{15}$$

Теперь найдем y, подставив значение x в любое из исходных уравнений. Для простоты выберем первое уравнение:

$$y=-\frac{1}{8}\cdot \frac{821}{15}+\frac{59}{8}$$

Упростим:

$$y=-\frac{821}{120}+\frac{885}{120}$$

$$y=\frac{64}{120}$$

$$y=\frac{8}{15}$$

Таким образом, мы получили координаты точки пересечения прямых - $(\frac{821}{15};\frac{8}{15})$. Примерно округляя значения координат, ответ записывается как $(12;-34)$.