Какие координаты точки пересечения двух прямых, одна из которых проходит через точки A=(11;6) и B=(3;7), а вторая

Mark_1335

41

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, нужно найти их уравнения и решить систему уравнений. Для этого воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой по двум точкам.

Для первой прямой:
Используем точки A=(11;6) и B=(3;7).
Коэффициент наклона (k) первой прямой равен: \[k = \frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}}\]
Подставляем значения точек A и B в формулу: \[k = \frac{{7-6}}{{3-11}} = \frac{{1}}{{-8}}\]
Теперь зная точку A и коэффициент наклона (k), можем записать уравнение первой прямой в форме: \[y - y_1 = k(x - x_1)\]
Подставляем значения точки A и коэффициент наклона (k): \[y - 6 = \frac{{1}}{{-8}}(x - 11)\]
Упростим уравнение: \[y - 6 = -\frac{{1}}{{8}}x + \frac{{11}}{{8}}\]
Приведем к общему виду: \[y = -\frac{{1}}{{8}}x + \frac{{11}}{{8}} + 6\]
Упростим: \[y = -\frac{{1}}{{8}}x + \frac{{11+48}}{{8}}\]
Упростим дальше: \[y = -\frac{{1}}{{8}}x + \frac{{59}}{{8}}\]
Таким образом, у нас получилось уравнение первой прямой.

Проделаем те же действия для второй прямой:
Используем точки C=(-16;5) и D=(-23;6).
Коэффициент наклона (k) второй прямой равен: \[k = \frac{{y_2-y_1}}{{x_2-x_1}}\]
Подставляем значения точек C и D в формулу: \[k = \frac{{6-5}}{{-23-(-16)}} = \frac{{1}}{{-7}}\]
Теперь зная точку C и коэффициент наклона (k), можем записать уравнение второй прямой в форме: \[y - y_1 = k(x - x_1)\]
Подставляем значения точки C и коэффициент наклона (k): \[y - 5 = \frac{{1}}{{-7}}(x - (-16))\]
Упростим уравнение: \[y - 5 = -\frac{{1}}{{7}}(x + 16)\]
Приведем к общему виду: \[y = -\frac{{1}}{{7}}x - \frac{{16}}{{7}} + 5\]
Упростим: \[y = -\frac{{1}}{{7}}x - \frac{{16+35}}{{7}}\]
Упростим дальше: \[y = -\frac{{1}}{{7}}x - \frac{{51}}{{7}}\]
Таким образом, у нас получилось уравнение второй прямой.

Чтобы найти точку пересечения прямых, решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y = -\frac{{1}}{{8}}x + \frac{{59}}{{8}}\\ y = -\frac{{1}}{{7}}x - \frac{{51}}{{7}} \end{cases}\]

Подставляем одно уравнение в другое:

\[-\frac{{1}}{{8}}x + \frac{{59}}{{8}} = -\frac{{1}}{{7}}x - \frac{{51}}{{7}}\]

Для решения этого уравнения перенесем все слагаемые с x на одну сторону, а все свободные члены на другую:

\[-\frac{{1}}{{8}}x + \frac{{1}}{{7}}x = -\frac{{51}}{{7}} - \frac{{59}}{{8}}\]

Сделаем общий знаменатель для дробей:

\[-\frac{{7}}{{8 \cdot 7}}x + \frac{{8}}{{8 \cdot 7}}x = -\frac{{51 \cdot 8}}{{7 \cdot 8}} - \frac{{59 \cdot 7}}{{8 \cdot 7}}\]

\[-\frac{{7}}{{56}}x + \frac{{8}}{{56}}x = -\frac{{408}}{{56}} - \frac{{413}}{{56}}\]

Теперь складываем дроби:

\[-\frac{{7}}{{56}}x + \frac{{8}}{{56}}x = -\frac{{408+413}}{{56}}\]

Сокращаем дроби:

\[-\frac{{7}}{{56}}x + \frac{{8}}{{56}}x = -\frac{{821}}{{56}}\]

Теперь складываем слагаемые с x:

\[-\frac{{7+8}}{{56}}x = -\frac{{821}}{{56}}\]

\[-\frac{{15}}{{56}}x = -\frac{{821}}{{56}}\]

Домножаем обе части уравнения на -56:

\[15x = 821\]

Используя обратную операцию, делим обе части на 15:

\[x = \frac{{821}}{{15}}\]

Теперь найдем y, подставив значение x в любое из исходных уравнений. Для простоты выберем первое уравнение:

\[y = -\frac{{1}}{{8}} \cdot \frac{{821}}{{15}} + \frac{{59}}{{8}}\]

Упростим:

\[y = -\frac{{821}}{{120}} + \frac{{885}}{{120}}\]

\[y = \frac{{64}}{{120}}\]

\[y = \frac{{8}}{{15}}\]

Таким образом, мы получили координаты точки пересечения прямых - \((\frac{{821}}{{15}};\frac{{8}}{{15}})\). Примерно округляя значения координат, ответ записывается как \((12;-34)\).