Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника, если его площадь равна 24 и один из катетов на 2 больше

Raisa

43

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть \(x\) - это длина меньшего катета прямоугольного треугольника. Тогда длина большего катета будет равна \(x + 2\), так как один из катетов больше другого на 2.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \times \text{длина меньшего катета} \times \text{длина большего катета}\]

Мы знаем, что площадь равна 24, поэтому можно записать уравнение:
\[24 = \frac{1}{2} \times x \times (x + 2)\]

Давайте решим это уравнение. Умножим правую часть уравнения:

\[24 = \frac{1}{2} \times x \times x + \frac{1}{2} \times x \times 2\]

Упростим:

\[24 = \frac{1}{2}x^2 + x\]

Перенесем все в левую часть уравнения:

\[\frac{1}{2}x^2 + x - 24 = 0\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
где \(a = \frac{1}{2}\), \(b = 1\) и \(c = -24\).

Вычислим дискриминант:
\[D = (1)^2 - 4 \times \frac{1}{2} \times (-24) = 1 + 48 = 49\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Подставим значения:
\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \times \frac{1}{2}}\]
\[x = \frac{-1 \pm 7}{1}\]

Таким образом, мы получаем два возможных значения для \(x\):
\[x_1 = -1 + 7 = 6\]
\[x_2 = -1 - 7 = -8\]

Так как мы говорим о длинах, мы не можем иметь отрицательное значение. Значит, длина меньшего катета составляет 6 единиц.

Проверим наше решение, подставив \(x = 6\) в наше уравнение площади треугольника:

\[24 = \frac{1}{2} \times 6 \times (6 + 2)\]

Упростим это выражение:

\[24 = \frac{1}{2} \times 6 \times 8\]
\[24 = 3 \times 8\]
\[24 = 24\]

Все сходится, и наше решение верно. Длина меньшего катета составляет 6 единиц.