Какие координаты у вектора a, который ортогонален векторам b=(8,4,2) и c=(-9,1,-5) и имеет длину равную корню из 294?

Yuzhanka

67

Чтобы найти координаты вектора a, который ортогонален векторам b и c, мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения. Две вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Давайте сначала найдем векторное произведение векторов b и c, чтобы получить вектор, который будет ортогонален обоим исходным векторам. Векторное произведение b и c можно найти по формуле:

\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (b_2c_3 - b_3c_2, b_3c_1 - b_1c_3, b_1c_2 - b_2c_1) \]

Подставляя значения векторов b и c, получаем:

\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (4 \cdot (-5) - 2 \cdot 1, 2 \cdot (-9) - 8 \cdot (-5), 8 \cdot 1 - 4 \cdot (-9)) \]
\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (-22, -22, 44) \]

Теперь нам нужно найти единичный вектор, который будет указывать в том же направлении, что и вектор a. Для этого мы делим вектор \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\) на его длину:

\[ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{b} \times \mathbf{c}}{|\mathbf{b} \times \mathbf{c}|} = \frac{(-22, -22, 44)}{\sqrt{(-22)^2 + (-22)^2 + 44^2}} \]

Теперь, чтобы получить вектор a, который имеет длину равную корню из 294 и ортогонален векторам b и c, мы масштабируем вектор \(\mathbf{u}\) на эту длину:

\[ \mathbf{a} = \sqrt{294} \cdot \mathbf{u} \]

Вычисляя значения вектора \(\mathbf{u}\) и умножая его на \(\sqrt{294}\), получаем ответ:

\[ \mathbf{a} \approx (-2.1, -2.1, 4.2) \]