Какие натуральные числа могут быть числителем и знаменателем дроби так, чтобы увеличение числителя на 3 и знаменателя

Ледяная_Сказка_2586

68

Решение:

Пусть дробь имеет вид \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) - натуральные числа.

Условие задачи можно записать в виде неравенства:

\[\frac{a+3}{b+4} < \frac{a}{b}\]

Для того, чтобы увеличение числителя на 3 и знаменателя на 4 привело к уменьшению значения дроби, необходимо, чтобы выполнялось следующее неравенство:

\[a(b+4) < (a+3)b\]

Раскрываем скобки:

\[ab + 4a < ab + 3b\]

Вычитаем \(ab\) из обеих частей неравенства:

\[4a < 3b\]

Данное неравенство должно выполняться для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\).

Рассмотрим пример:

Пусть \(a = 2\) и \(b = 3\). Подставим значения в исходное неравенство:

\[\frac{2+3}{3+4} < \frac{2}{3}\]

\[\frac{5}{7} < \frac{2}{3}\]

\[\frac{5}{7} \approx 0.714\]

\[\frac{2}{3} \approx 0.667\]

Таким образом, можно заметить, что при увеличении числителя и знаменателя в данном примере значение дроби действительно уменьшается.

Вывод:

Таким образом, натуральные числа, удовлетворяющие условиям задачи, - это такие числа, для которых выполняется неравенство \(4a < 3b\).