Какие натуральные числа p удовлетворяют условию, что (p, p^2+4, p^2+6) образуют р^2-p в квадрате?

Сквозь_Подземелья_3665

9

Чтобы найти натуральные числа \(p\), удовлетворяющие условиям \((p, p^2+4, p^2+6)\) и образующие \(p^2-p\) в квадрате, проведем следующие шаги:

1. Выразим \(p^2-p\) в квадрате как \((p(p-1))^2\).

2. Установим, что \((p, p^2+4, p^2+6)\) формируют \((p(p-1))^2\). Заметим, что последовательность чисел образует квадрат, если разница между любыми двумя соседними числами равна одному и тому же числу.

3. Перепишем условие \((p, p^2+4, p^2+6)\) в виде разностей и установим, что разница между \(p\) и \(p^2+4\) равна разнице между \(p^2+4\) и \(p^2+6\). То есть, \(p^2+4-p = p^2+6-(p^2+4)\).

4. Упростим выражение, получим уравнение \(4-p = 6-4\), и, далее, \(4-p = 2\).

5. Решим полученное уравнение и найдем значение \(p\): \(p = 4-2 = 2\).

Таким образом, единственное натуральное число \(p\), удовлетворяющее условиям задачи и образующее \(p^2-p\) в квадрате, равно 2.