Какие простые множители могут присутствовать в знаменателе несократимой обыкновенной дроби так, чтобы она могла быть

Zhiraf_8428

15

Для того чтобы понять, какие простые множители могут присутствовать в знаменателе несократимой обыкновенной дроби, которая может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, давайте вспомним некоторые основные понятия математики.

Деление чисел позволяет нам разделить целое число на другое целое число. Когда результат деления является конечной десятичной дробью (то есть десятичной дробью с конечным числом знаков после запятой), мы можем сказать, что дробь представлена в виде конечной десятичной дроби.

Представим, что у нас есть несократимая обыкновенная дробь \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) - целые числа. Если знаменатель \(b\) имеет простые множители только 2 и/или 5 (также известные как "числа Мерсенна"), то результат деления будет конечной десятичной дробью. Это происходит из-за особенностей системы счисления, связанных с числами 2 и 5.

Давайте рассмотрим несколько примеров для большей ясности.

Пример 1: Рассмотрим дробь \(\frac{1}{2}\). Знаменатель 2 имеет только один простой множитель - 2. Это число Мерсенна. Если мы поделим 1 на 2, получим результат 0.5, конечную десятичную дробь.

\[\frac{1}{2} = 0.5\]

Пример 2: Рассмотрим дробь \(\frac{3}{4}\). Знаменатель 4 имеет два простых множителя - 2 и 2. Оба множителя являются числами Мерсенна. Если мы поделим 3 на 4, получим результат 0.75, также конечную десятичную дробь.

\[\frac{3}{4} = 0.75\]

Пример 3: Теперь рассмотрим дробь \(\frac{7}{15}\). Знаменатель 15 имеет два простых множителя - 3 и 5. Оба множителя не являются числами Мерсенна. Если мы поделим 7 на 15, результат будет составлять периодическую десятичную дробь.

\[\frac{7}{15} = 0.4(\overline{6})\]

Из этих примеров видно, что для того, чтобы несократимая обыкновенная дробь была представлена в виде конечной десятичной дроби, знаменатель должен иметь только простые множители чисел Мерсенна - 2 и/или 5. Если в знаменателе присутствуют другие простые множители, результат деления будет представлять собой периодическую десятичную дробь.