Какие равны проекции векторов, изображенных на рисунке? Каковы модули этих векторов? Рассчитывать нужно только векторы

Чудо_Женщина

24

На рисунке изображены два вектора, обозначенные как \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\). Чтобы найти проекции этих векторов, необходимо проецировать их на оси координат.

Давайте начнем с вектора \(\overrightarrow{A}\). Мы можем разложить его на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая, или проекция, обозначается как \(A_x\) и вертикальная составляющая обозначается как \(A_y\). Чтобы найти эти значения, нам нужно знать угол, под которым вектор \(\overrightarrow{A}\) находится относительно горизонтали.

По рисунку видно, что угол \(\theta\) между вектором \(\overrightarrow{A}\) и горизонтальной осью равен \(45^\circ\). Так как это прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти проекции вектора \(\overrightarrow{A}\).

Горизонтальная проекция \(A_x\) может быть найдена с использованием тригонометрической функции косинуса:

\[A_x = A \cdot \cos(\theta)\]
\[A_x = 3 \cdot \cos(45^\circ)\]

Рассчитаем это значение:

\[A_x \approx 3 \cdot 0.707 \approx 2.121\]

Теперь найдем вертикальную проекцию \(A_y\) с использованием тригонометрической функции синуса:

\[A_y = A \cdot \sin(\theta)\]
\[A_y = 3 \cdot \sin(45^\circ)\]

Рассчитаем это значение:

\[A_y \approx 3 \cdot 0.707 \approx 2.121\]

Таким образом, проекции вектора \(\overrightarrow{A}\) на горизонтальную и вертикальную оси равны \(2.121\) (с округлением до трех десятичных знаков).

Теперь перейдем к вектору \(\overrightarrow{B}\). Для него угол \(\theta\) также равен \(45^\circ\). Мы можем использовать те же тригонометрические соотношения, чтобы найти его проекции.

\[B_x = B \cdot \cos(\theta)\]
\[B_x = 4 \cdot \cos(45^\circ)\]

\[B_y = B \cdot \sin(\theta)\]
\[B_y = 4 \cdot \sin(45^\circ)\]

Вычислим значения:

\[B_x \approx 4 \cdot 0.707 \approx 2.828\]
\[B_y \approx 4 \cdot 0.707 \approx 2.828\]

Таким образом, проекции вектора \(\overrightarrow{B}\) на горизонтальную и вертикальную оси также равны \(2.828\) (с округлением до трех десятичных знаков).

Чтобы найти модули векторов \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\), нам просто нужно использовать теорему Пифагора для треугольников, образованных проекциями на оси:

Модуль вектора \(A\) равен:

\[|A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}\]
\[|A| = \sqrt{2.121^2 + 2.121^2}\]

Вычислим это значение:

\[|A| \approx \sqrt{4.5} \approx 2.828\]

Модуль вектора \(B\) равен:

\[|B| = \sqrt{B_x^2 + B_y^2}\]
\[|B| = \sqrt{2.828^2 + 2.828^2}\]

Вычислим это значение:

\[|B| \approx \sqrt{16} \approx 4\]

Таким образом, модули векторов \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\) равны \(2.828\) и \(4\) соответственно.

Это всеобщий подход к расчету проекций векторов и их модулей на оси координат.