Какие стороны равнобедренных треугольников с периметром 26 имеют наибольшую площадь? Предоставьте три ответа в виде

Медведь

31

Для решения этой задачи мы должны использовать знания о равнобедренных треугольниках и связанных с ними формулах.

Давайте предположим, что сторона равнобедренного треугольника равна \(x\), а основание – \(y\). Так как у равнобедренного треугольника две равные стороны, периметр будет равен \(2x + y\). В нашем случае периметр равен 26, поэтому мы можем записать это как уравнение: \(2x + y = 26\).

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу площади: \(S = \frac{1}{2} \cdot y \cdot h\), где \(h\) – высота треугольника. Высота треугольника может быть найдена с использованием теоремы Пифагора: \(h = \sqrt{x^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2}\).

Теперь мы можем сформулировать задачу как задачу оптимизации, где мы хотим найти значения \(x\) и \(y\), которые максимизируют площадь. Давайте составим функцию площади треугольника и найдем ее максимальное значение.

\[S = \frac{1}{2} \cdot y \cdot \sqrt{x^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2}\]

Чтобы упростить вычисления, мы можем возвести это уравнение в квадрат, тогда квадрат площади будет равен:

\[S^2 = \frac{1}{4} \cdot y^2 \cdot (x^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2)\]

Теперь нам нужно найти значения \(x\) и \(y\), при которых \(S^2\) имеет максимальное значение.

Для выполнения этого шага нам потребуется немного алгебры. Подставим значение \(2x + y\) из первого уравнения во второе уравнение:

\[S^2 = \frac{1}{4} \cdot y^2 \cdot (x^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2) = \frac{1}{4} \cdot y^2 \cdot \left(x^2 - \left(\frac{2x + y}{2}\right)^2\right)\]

Упростим это уравнение:

\[S^2 = \frac{1}{4} \cdot y^2 \cdot \left(x^2 - \left(\frac{4x^2 + 4xy + y^2}{4}\right)\right) = \frac{1}{4} \cdot y^2 \cdot \left(x^2 - x^2 - xy - \frac{y^2}{4}\right)\]

Теперь у нас получилось:

\[S^2 = \frac{1}{4} \cdot y^2 \cdot \left(- xy - \frac{y^2}{4}\right)\]

Используем эту формулу \(S^2\) для нахождения максимального значения. Найдем производные по \(x\) и \(y\) и приравняем их к нулю:

\[\frac{\partial S^2}{\partial x} = -\frac{y^3}{2} - \frac{xy}{2} = 0\]
\[\frac{\partial S^2}{\partial y} = \frac{xy^2}{4} - \frac{xy}{2} = 0\]

Решив эти уравнения, мы найдем два набора значений \(x\) и \(y\), которые максимизируют площадь треугольника.

Первый набор:

\[x = \frac{12}{5}, \quad y = \frac{26}{5}\]

Второй набор:

\[x = 6, \quad y = 14\]

Таким образом, стороны равнобедренных треугольников с периметром 26, имеющие наибольшую площадь, можно выразить в виде дробей:

\[\frac{12}{5}, \quad \frac{26}{5}, \quad 6, \quad 14\]