Какие типы тригонометрических функций содержит решение линейного однородного дифференциального уравнения второго

Raduzhnyy_Mir

9

Когда мы рассматриваем решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, мы можем использовать тригонометрические функции для представления общего решения. Для данной задачи рассмотрим три случая:

A) Корни характеристического уравнения являются комплексными:

Пусть корни характеристического уравнения будут комплексными и имеют вид \(\lambda = \alpha \pm \beta i\), где \(\alpha\) и \(\beta\) - действительные числа, а \(i\) - мнимая единица. В этом случае общее решение будет иметь следующий вид:
\[y(t) = e^{\alpha t}(A \cos(\beta t) + B \sin(\beta t))\]
Здесь \(A\) и \(B\) - произвольные постоянные.

B) Корни характеристического уравнения являются действительными и различными:

Пусть корни характеристического уравнения будут действительными и различными, тогда общее решение примет вид:
\[y(t) = Ae^{\lambda_1 t} + Be^{\lambda_2 t}\]
Здесь \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) - корни характеристического уравнения, а \(A\) и \(B\) - произвольные постоянные.

C) Корни характеристического уравнения являются вещественными и равными:

Пусть корни характеристического уравнения будут вещественными и равными, тогда общее решение будет иметь вид:
\[y(t) = (A + Bt)e^{\lambda t}\]
Здесь \(\lambda\) - корень характеристического уравнения, а \(A\) и \(B\) - произвольные постоянные.

Таким образом, в решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами мы можем использовать различные типы тригонометрических функций в зависимости от характера корней характеристического уравнения.