Какие точки в параллелепипеде КЛМНК1L1M1N1 являются серединами ребер М1N1 и М1М? Укажите вектор, направленный

Chudo_Zhenschina

32

Правильно обозначим точки параллелепипеда. Пусть \(K\) – верхняя задняя правая вершина, \(L\) – верхняя передняя правая вершина, \(M\) – нижняя задняя правая вершина, \(N\) – нижняя передняя правая вершина, \(K_1\) – верхняя задняя левая вершина, \(L_1\) – верхняя передняя левая вершина, \(M_1\) – нижняя задняя левая вершина и \(N_1\) – нижняя передняя левая вершина.

Для начала, найдем координаты данных точек. Предположим, что начало координат \(O\) находится в верхней передней правой вершине \(L\). При этом ось \(x\) будет направлена вправо, ось \(y\) – вниз, и ось \(z\) – вдоль задней стороны параллелепипеда.

Таким образом, координаты точек имеют следующий вид:

\[
\begin{align*}
K(x_K,y_K,z_K) & : (0, 0, 0) \\
L(x_L,y_L,z_L) & : (0, 0, d) \\
M(x_M,y_M,z_M) & : (a, b, 0) \\
N(x_N,y_N,z_N) & : (a, b, d) \\
K_1(x_{K_1},y_{K_1},z_{K_1}) & : (-a, 0, 0) \\
L_1(x_{L_1},y_{L_1},z_{L_1}) & : (-a, 0, d) \\
M_1(x_{M_1},y_{M_1},z_{M_1}) & : (0, -b, 0) \\
N_1(x_{N_1},y_{N_1},z_{N_1}) & : (0, -b, d) \\
\end{align*}
\]

Теперь рассмотрим вектор, направленный из точки \(M_1\) в точку \(N\). Для этого вычислим разности координат по каждой оси:

\[
\begin{align*}
\overrightarrow{M_1N} & = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M_1} \\
& = (a, b, d) - (0, -b, 0) \\
& = (a, b + b, d) \\
& = (a, 2b, d)
\end{align*}
\]

Следовательно, вектор \(\overrightarrow{M_1N}\) имеет координаты \((a, 2b, d)\).

Теперь рассмотрим вектор, направленный из точки \(M_1\) в точку \(M\):

\[
\begin{align*}
\overrightarrow{M_1M} & = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{M_1} \\
& = (a, b, 0) - (0, -b, 0) \\
& = (a, b + b, 0) \\
& = (a, 2b, 0)
\end{align*}
\]

Следовательно, вектор \(\overrightarrow{M_1M}\) имеет координаты \((a, 2b, 0)\).

Теперь найдем середины ребер \(\overline{M_1N_1}\) и \(\overline{M_1M}\). Чтобы найти середину ребра, нужно просуммировать координаты концов ребра и разделить полученную сумму на 2.

Для ребра \(\overline{M_1N_1}\), координаты его середины \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{M_1} + \overrightarrow{N_1})\) равны:

\[
\begin{align*}
\frac{1}{2}(\overrightarrow{M_1} + \overrightarrow{N_1}) & = \frac{1}{2}\left((0, -b, 0) + (0, -b, d)\right) \\
& = \frac{1}{2}(0, -2b, d) \\
& = (0, -b, \frac{d}{2})
\end{align*}
\]

Следовательно, середина ребра \(\overline{M_1N_1}\) имеет координаты \((0, -b, \frac{d}{2})\).

Для ребра \(\overline{M_1M}\), координаты его середины \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{M_1} + \overrightarrow{M})\) равны:

\[
\begin{align*}
\frac{1}{2}(\overrightarrow{M_1} + \overrightarrow{M}) & = \frac{1}{2}\left((0, -b, 0) + (a, b, 0)\right) \\
& = \frac{1}{2}(a, 0, 0) \\
& = (\frac{a}{2}, 0, 0)
\end{align*}
\]

Следовательно, середина ребра \(\overline{M_1M}\) имеет координаты \((\frac{a}{2}, 0, 0)\).

В итоге, точки, которые являются серединами ребер \(\overline{M_1N_1}\) и \(\overline{M_1M}\), имеют следующие координаты:

Середина ребра \(\overline{M_1N_1}\) : (0, -b, \(\frac{d}{2}\))

Середина ребра \(\overline{M_1M}\) : (\(\frac{a}{2}\), 0, 0)