Какие три вектора из четырех векторов m=2a-b+c, n=-a+b-2c, p=a+2b+c, k=3a+b+2c являются компланарными? Опишите связь

Жираф_8446

63

Чтобы определить, какие из данных векторов являются компланарными, нам необходимо проверить, существует ли плоскость, в которой все эти векторы лежат. Для этого мы можем воспользоваться определителем матрицы, составленной из координат этих векторов.

Для начала, запишем координаты векторов в матрицу:

\[
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -2 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь посчитаем определитель этой матрицы. Если определитель равен нулю, то векторы компланарны, иначе они не являются компланарными.

\[
\begin{vmatrix}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -2 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix}
\]

Для вычисления определителя, можно использовать третий столбец для упрощения расчётов. При нахождении вычеркиваем третий столбец:

\[
= 2
\begin{vmatrix}
-1 & -2 \\
2 & 1 \\
\end{vmatrix}
- 1
\begin{vmatrix}
-1 & -2 \\
1 & 1 \\
\end{vmatrix}
+ 1
\begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{vmatrix}
- 3
\begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
2 & 1 \\
\end{vmatrix}
\]

Теперь посчитаем каждый из этих миноров:

\[
= 2((-1 \cdot 1) - (-2 \cdot 2)) - 1((-1 \cdot 1) - (-2 \cdot 1)) + 1((-1 \cdot 1) - (1 \cdot 1)) - 3((-1 \cdot 1) - (1 \cdot 2))
\]

\[
= 2(-1 + 4) - 1(-1 + 2) + 1(-1 - 1) - 3(-1 - 2)
\]

\[
= 2(3) - 1(1) + 1(-2) - 3(-3)
\]

\[
= 6 - 1 - 2 + 9
\]

\[
= 12
\]

Мы получили, что определитель матрицы равен 12. Так как определитель не равен нулю, можно заключить, что данные векторы не являются компланарными.

Связь между этими векторами можно понять, разложив векторы на сумму их координат:

m = [2, -1, 1],
n = [-1, 1, -2],
p = [1, 2, 1],
k = [3, 1, 2].

Мы можем заметить, что у всех векторов первая координата "a", вторая координата "b" и третья координата "c". Таким образом, связь между ними заключается в том, что каждый из этих векторов представляет собой линейную комбинацию векторов a, b и c.