Какие значения b нужны для того, чтобы прямая y= -2x+b образовывала треугольник с осями координат, площадь которого

Milaya

54

Чтобы прямая \(y = -2x + b\) образовывала треугольник с осями координат, мы должны найти такие значения \(b\), при которых площадь этого треугольника будет равна 4.

Для начала, давайте представим треугольник, образованный прямой и осями координат. Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длины его основания и высоты. Основание треугольника будем считать длиной от точки пересечения прямой с осью OX до точки пересечения прямой с осью OY. Высотой треугольника будем считать расстояние от точки пересечения прямой с осью OY до оси OX.

Для нашей прямой \(y = -2x + b\) точка пересечения с осью OX будет иметь координаты \((0, b)\), а точка пересечения с осью OY будет иметь координаты \(\left(\frac{{-b}}{2}, 0\right)\).

Теперь найдем длину основания треугольника, которая равна расстоянию между точками пересечения прямой с осями координат. Используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Для нашего треугольника имеем:

\[d = \sqrt{\left(\frac{{-b}}{2} - 0\right)^2 + (0 - b)^2}\]

\[d = \sqrt{\frac{{b^2}}{4} + b^2}\]

Теперь найдем высоту треугольника, которая равна расстоянию от точки пересечения прямой с осью OY до оси OX. Используем модуль значения y-координаты:

\[h = |0 - b| = |b|\]

Теперь у нас есть основание и высота треугольника. Известно, что площадь треугольника равна половине произведения длины основания и высоты. Поэтому, чтобы площадь была равна 4, мы должны иметь:

\[\frac{1}{2} \cdot d \cdot h = 4\]

Подставим значения \(d\) и \(h\):

\[\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{{b^2}}{4} + b^2} \cdot |b| = 4\]

Для упрощения выражения, уберем знак модуля:

\[\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{{b^2}}{4} + b^2} \cdot b = 4\]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе и упростить выражение, умножим обе части уравнения на 2:

\[\sqrt{\frac{{b^2}}{4} + b^2} \cdot b = 8\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[\left(\frac{{b^2}}{4} + b^2\right) \cdot b^2 = 64\]

Умножим \(b^2\) на обе части уравнения:

\[\frac{{b^2}}{4} \cdot b^2 + b^4 = 64\]

Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[b^4 + 4b^2 = 256\]

Полученное уравнение является квадратным относительно переменной \(b^2\). Подставим новую переменную \(x = b^2\) и решим это уравнение:

\[x^2 + 4x = 256\]

\[x^2 + 4x - 256 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[x = \frac{{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-256)}}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{{-4 \pm \sqrt{16 + 1024}}}{2}\]

\[x = \frac{{-4 \pm \sqrt{1040}}}{2}\]

Теперь найдем значения переменной \(b\):

\[b^2 = x = \frac{{-4 \pm \sqrt{1040}}}{2}\]

\[b = \sqrt{\frac{{-4 \pm \sqrt{1040}}}{2}}\]

Как видим, полученное уравнение имеет два значения для \(b\):

\[b = \sqrt{\frac{{-4 + \sqrt{1040}}}{2}} \approx 8.94\]

или

\[b = \sqrt{\frac{{-4 - \sqrt{1040}}}{2}} \approx -8.94\]

Таким образом, наибольшее значение \(b\) равно приближенно 8.94.