Какие значения х удовлетворяют следующим неравенствам: a) (9 — x)(х+16) (24 +x) > 0; б) – (2 — x) (4 + х) (x — 11

Smurfik

60

Для решения данных неравенств, мы должны найти значения переменной \(x\), которые удовлетворяют условию \(f(x) > 0\), где \(f(x)\) представляет собой выражение в левой части неравенства. Для решения каждого неравенства, мы разобьём его на несколько случаев, и для каждого случая определим, когда \(f(x) > 0\). Давайте решим каждую задачу по порядку.

а) Разделим данное неравенство на случаи:

1. Когда \((9-x)\), \((x+16)\) и \((24+x)\) положительны:
\((9-x) > 0\), \((x+16) > 0\) и \((24+x) > 0\) (случай I).

2. Когда \((9-x)\), \((x+16)\) и \((24+x)\) отрицательны:
\((9-x) < 0\), \((x+16) < 0\) и \((24+x) < 0\) (случай II).

3. Когда только два из трех множителей положительны:
3.1. \((9-x) < 0\), \((x+16) > 0\) и \((24+x) > 0\) (случай III.1).
3.2. \((9-x) > 0\), \((x+16) < 0\) и \((24+x) > 0\) (случай III.2).
3.3. \((9-x) > 0\), \((x+16) > 0\) и \((24+x) < 0\) (случай III.3).

4. Когда только один из трех множителей положителен:
4.1. \((9-x) > 0\), \((x+16) < 0\) и \((24+x) < 0\) (случай IV.1).
4.2. \((9-x) < 0\), \((x+16) > 0\) и \((24+x) < 0\) (случай IV.2).
4.3. \((9-x) < 0\), \((x+16) < 0\) и \((24+x) > 0\) (случай IV.3).

Теперь решим каждый случай по порядку:

Случай I:
\((9-x) > 0\) означает, что \(x < 9\).
\((x+16) > 0\) означает, что \(x > -16\).
\((24+x) > 0\) означает, что \(x > -24\).

Таким образом, при \(x < 9\) и \(x > -16\) и \(x > -24\) неравенство \(f(x) > 0\) выполняется.

Случай II:
Здесь все знаки будут противоположными, поэтому решений нет.

Случай III.1:
\((9-x) < 0\) означает, что \(x > 9\).
\((x+16) > 0\) означает, что \(x > -16\).
\((24+x) > 0\) означает, что \(x > -24\).

Таким образом, при \(x > 9\) и \(x > -16\) и \(x > -24\) неравенство \(f(x) > 0\) выполняется.

Случай III.2:
\((9-x) > 0\) означает, что \(x < 9\).
\((x+16) < 0\) означает, что \(-16 < x < -24\).
\((24+x) > 0\) означает, что \(x > -24\).

Таким образом, решений нет.

Случай III.3:
\((9-x) > 0\) означает, что \(x < 9\).
\((x+16) > 0\) означает, что \(x > -16\).
\((24+x) < 0\) означает, что \(-24 < x < -16\).

Таким образом, решений нет.

Случай IV.1:
\((9-x) > 0\) означает, что \(x < 9\).
\((x+16) < 0\) означает, что \(-16 < x < -24\).
\((24+x) < 0\) означает, что \(x < -24\).

Таким образом, решений нет.

Случай IV.2:
\((9-x) < 0\) означает, что \(x > 9\).
\((x+16) > 0\) означает, что \(x > -16\).
\((24+x) < 0\) означает, что \(-24 < x < -16\).

Таким образом, при \(x > 9\) и \(-16 < x < -24\) и \(x < -24\) неравенство \(f(x) > 0\) выполняется.

Случай IV.3:
\((9-x) < 0\) означает, что \(x > 9\).
\((x+16) < 0\) означает, что \(-16 < x < -24\).
\((24+x) > 0\) означает, что \(x > -24\).

Таким образом, при \(x > 9\) и \(-16 < x < -24\) и \(x > -24\) неравенство \(f(x) > 0\) выполняется.

Итак, объединяя все решения из каждого случая, получаем, что значения \(x\), удовлетворяющие заданному неравенству, являются:

\[x \in (-\infty, -24) \cup (-16, 9)\]