Какие значения α и β должны принять, чтобы вектор d = a + b + c можно было записать в виде линейной комбинации векторов

Магический_Космонавт

22

Для решения данной задачи, нам нужно найти такие значения α и β, чтобы вектор d = a + b + c можно было записать в виде линейной комбинации векторов d = αa + βb.

Заметим, что вектор d = αa + βb можно представить в виде:
d = αa + βb = α(3; –1) + β(1; –2)

Выполним умножение для каждого компонента вектора:
d = (3α; –α) + (β; –2β)
d = (3α + β; –α – 2β)

Теперь сравним полученный вектор d с вектором d = a + b + c = (3 + 1 – 1; –1 – 2) = (3; –3)

Уравнивая соответствующие компоненты, получаем систему уравнений:
3α + β = 3
–α – 2β = –3

Мы можем решить эту систему уравнений пошагово, используя метод замены или метод приведения к ступенчатому виду. Давайте воспользуемся методом замены:

Из второго уравнения получаем:
α = –3 + 2β

Подставляем этот результат в первое уравнение:
3(–3 + 2β) + β = 3
–9 + 6β + β = 3
7β = 12
β = \(\frac{12}{7}\)

Теперь найдем значение α, подставив найденное значение β в уравнение:
α = –3 + 2β = –3 + 2\(\frac{12}{7}\) = \(\frac{15}{7}\)

Таким образом, чтобы вектор d = a + b + c можно было записать в виде линейной комбинации векторов d = αa + βb, необходимо принять значения α = \(\frac{15}{7}\) и β = \(\frac{12}{7}\).