Какие значения имеют функции sinx, cosx, tgx, ctgx при x=37п/5?

Мишка

16

Для того чтобы решить эту задачу, давайте вспомним, каким образом мы можем определить значения функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса при заданном значении угла.

Функции синуса и косинуса определяются с помощью единичной окружности. Представьте себе, что у вас есть окружность радиусом 1 и центром в начале координат. Если мы выбираем угол X от начала координат до некоторой точки на окружности, то значение синуса этого угла равно y-координате этой точки, а значение косинуса равно x-координате.

Тангенс и котангенс, в свою очередь, определяются с помощью синуса и косинуса. Значение тангенса равно отношению синуса косинуса, а значение котангенса - отношению косинуса к синусу.

Теперь, когда мы разобрались с определением этих функций, давайте рассчитаем их значения при \(x = \frac{37\pi}{5}\).

Начнем с синуса. Мы знаем, что значения синуса и косинуса повторяются через каждые \(\pi\) радиан, поэтому мы можем привести значение угла к эквивалентному значению в пределах интервала \([0, 2\pi]\):

\(\frac{37\pi}{5} = 7\pi + \frac{2\pi}{5} = \frac{10\pi}{5} + \frac{2\pi}{5} = \frac{12\pi}{5}\)

Теперь, учитывая, что значение синуса равно y-координате на единичной окружности, исходя из определения, получаем:

\(\sin\left(\frac{37\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{12\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)\)

Мы можем задать значение \(\frac{2\pi}{5}\) в виде десятичной дроби, чтобы подробнее рассмотреть:

\(\frac{2\pi}{5} \approx 1.2566\)

Теперь мы можем найти приближенное значение синуса этого угла, используя научный калькулятор или таблицы значений тригонометрических функций. В данном случае, приближенное значение \(\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)\) округляется до 0.9511.

Аналогично, мы можем применить те же шаги для нахождения значений косинуса, тангенса и котангенса:

\(\cos\left(\frac{37\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{12\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\)

Используя научный калькулятор или таблицы значений, мы получаем, что \(\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) \approx 0.3090\).

Теперь найдем значение тангенса и котангенса:

\(\tan\left(\frac{37\pi}{5}\right) = \tan\left(\frac{12\pi}{5}\right) = \tan\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)}{\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)} \approx \frac{0.9511}{0.3090} \approx 3.0769\)

И, наконец, найдем котангенс:

\(\cot\left(\frac{37\pi}{5}\right) = \cot\left(\frac{12\pi}{5}\right) = \cot\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)}{\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)} \approx \frac{0.3090}{0.9511} \approx 0.3249\)

Итак, значения функций sinx, cosx, tgx, ctgx при \(x = \frac{37\pi}{5}\) составляют:

\(\sin\left(\frac{37\pi}{5}\right) \approx 0.9511\)

\(\cos\left(\frac{37\pi}{5}\right) \approx 0.3090\)

\(\tan\left(\frac{37\pi}{5}\right) \approx 3.0769\)

\(\cot\left(\frac{37\pi}{5}\right) \approx 0.3249\)

Обратите внимание, что все значения тригонометрических функций при \(\frac{37\pi}{5}\) округлены для удобства представления, но научно-точные значения можно получить с помощью более точных инструментов расчета.