Какие значения имеют полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис гиперболы, заданной каноническим

Ledyanaya_Magiya

29

Данное каноническое уравнение гиперболы x^2/36 - y^2/64 = 1 позволяет нам извлечь множество полезной информации о форме и характеристиках этой гиперболы.

1. Полуоси:
Первым шагом найдем значения полуосей данной гиперболы. Мы знаем, что полуоси представляют собой квадратные корни числителей уравнения. Следовательно, для полуоси "а" будет выполняться следующее уравнение:

a^2 = 36

Решим это уравнение:

a = \(\sqrt{36}\) = 6

Аналогично для полуоси "b" будет выполняться следующее уравнение:

b^2 = 64

Решим это уравнение:

b = \(\sqrt{64}\) = 8

Таким образом, полуоси данной гиперболы составляют 6 и 8.

2. Фокусы:
Фокусы гиперболы также являются важными характеристиками. Для гиперболы с каноническим уравнением вида x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 координаты фокусов могут быть найдены при помощи следующих формул:
c = \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

где "c" - расстояние от центра гиперболы до фокусов.

Теперь найдем фокусы для данной гиперболы:

c = \(\sqrt{6^2 + 8^2}\)

c = \(\sqrt{36 + 64}\)

c = \(\sqrt{100}\)

c = 10

Фокусы гиперболы находятся на расстоянии 10 единиц от центра гиперболы.

3. Эксцентриситет:
Эксцентриситет гиперболы вычисляется с помощью следующей формулы:
e = c/a

где "e" - эксцентриситет гиперболы.

Подставим значения, которые мы вычислили ранее:

e = 10/6

4. Уравнение асимптот:
Асимптоты гиперболы можно найти при помощи следующих уравнений:
y = ±(b/a) * x

Подставим значения в формулу:

y = ±(8/6) * x

y = ±(4/3) * x

5. Уравнение директрис:
Директрисы гиперболы могут быть найдены с использованием следующих уравнений:
y = ±(a/e)

Подставим значения в формулу:

y = ±(6/10)

y = ±(3/5)

6. Уравнение касательной:
Чтобы найти уравнение касательной в заданной точке m0(-15, -4√21), мы можем использовать формулу:
y - y0 = k(x - x0)

где (x0, y0) - координаты точки касания, k - значение производной в данной точке.

Найдем значение производной:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{y}{x}) = \frac{16}{9}\)

Теперь, используя формулу, подставляем значения:

y - (-4√21) = \(\frac{16}{9}\)(x - (-15))

y + 4√21 = \(\frac{16}{9}\)(x + 15)

Таким образом, уравнение касательной в точке m0(-15, -4√21) данной гиперболы будет:
y + 4√21 = \(\frac{16}{9}\)(x + 15)

Для визуализации гиперболы, приложу чертеж.