Какие значения имеют радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника с гипотенузой 20

Sladkiy_Poni

10

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства прямоугольного треугольника и окружностей.

Предположим, что мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где AC - гипотенуза длины 20 см, а угол между гипотенузой и катетом равен 90 градусов.

Для начала, найдем длины катетов. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:

AB^2 + BC^2 = AC^2.

Поскольку один из катетов (катет AB) равен радиусу вписанной окружности, а другой катет (катет BC) равен радиусу описанной окружности, найденные нами значения будут являться радиусами требуемых окружностей.

AB^2 + BC^2 = AC^2.

Подставляя известные значения, получаем:

AB^2 + BC^2 = 20^2.

Так как треугольник является прямоугольным, то AB и BC являются катетами, и их длины должны быть меньше гипотенузы. Следовательно, радиусы вписанной и описанной окружностей будут также меньше 20 см.

Теперь найдем значения радиусов. Решим квадратное уравнение:

AB^2 + BC^2 = 20^2.

AB^2 + (20 - AB)^2 = 400.

AB^2 + 400 - 40AB + AB^2 = 400.

2AB^2 - 40AB = 0.

AB(2B - 40) = 0.

AB = 0 или B = 20.

Поскольку длина радиуса не может быть нулевой, то AB = 0 не подходит. Таким образом, получаем, что B = 20.

Значит, радиус описанной окружности равен 20 см.

Для нахождения радиуса вписанной окружности, подставим полученное значение B = 20 в одно из исходных уравнений:

AB^2 + BC^2 = 20^2.

AB^2 + (20 - AB)^2 = 400.

AB^2 + 400 - 40AB + AB^2 = 400.

2AB^2 - 40AB = 0.

AB(2B - 40) = 0.

AB = 0 или B = 20.

Поскольку длина радиуса не может быть нулевой, то AB = 0 не подходит. Следовательно, полученное нами значение радиуса BC = 20 см.

Итак, имеем:

Радиус вписанной окружности: AB = 20 см.

Радиус описанной окружности: BC = 20 см.

Мы получили, что радиусы обеих окружностей равны 20 см для данного прямоугольного треугольника.