Какие значения k и m соответствуют прямой, которая является линией пересечения плоскостей x + 2y - 4z + 3 = 0 и 2x

Стрекоза

2

Для начала определим условие, при котором прямая лежит в плоскости \(7x - y + kz\):

Для этого воспользуемся условием перпендикулярности прямой и нормали плоскости.

Нормаль к плоскости \(7x - y + kz\) имеет координаты \((7, -1, k)\).

Теперь рассмотрим плоскости \(x + 2y - 4z + 3 = 0\) и \(2x - y + 3z + 1 = 0\).

Их нормали можно найти, приведя уравнение плоскости к общему виду \(Ax + By + Cz + D = 0\).

- Для плоскости \(x + 2y - 4z + 3 = 0\) нормаль имеет координаты \((1, 2, -4)\).
- Для плоскости \(2x - y + 3z + 1 = 0\) нормаль имеет координаты \((2, -1, 3)\).

Теперь найдем вектор направления прямой пересечения плоскостей, используя векторное произведение нормалей этих плоскостей:

\[
\text{{Найдем вектор направления: }}
\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}
\]

где \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) - нормали плоскостей.

Выполним вычисления:

\[
\vec{v} = (1, 2, -4) \times (2, -1, 3)
\]

Раскроем определитель:

\[
\vec{v} = (2 \cdot (-4) - (-1) \cdot (-4), 1 \cdot (-4) - 2 \cdot 3, 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) = (-5, -10, -1)
\]

Теперь, чтобы прямая лежала в плоскости \(7x - y + kz\), вектор направления прямой должен быть перпендикулярен нормали плоскости \(7x - y + kz\), то есть скалярное произведение этих векторов должно быть равно 0:

\[
\vec{v} \cdot (7, -1, k) = 0
\]

Подставим значения вектора \(\vec{v}\) и координаты нормали плоскости:

\[
(-5, -10, -1) \cdot (7, -1, k) = -5 \cdot 7 + (-10) \cdot (-1) + (-1) \cdot k = -35 + 10 - k = -25 - k
\]

Итак, уравнение \(-25 - k = 0\) должно быть выполнено, чтобы прямая лежала в плоскости.

Решим это уравнение:

\[
-k = 25 \Rightarrow k = -25
\]

Таким образом, значение \(k = -25\) является значением, при котором прямая будет линией пересечения плоскостей \(x + 2y - 4z + 3 = 0\) и \(2x - y + 3z + 1 = 0\), и будет лежать в плоскости \(7x - y - 25z = 0\).

Проверим, что прямая лежит в обоих плоскостях:

Подставим координаты прямой в уравнения плоскостей:

1) \(x + 2y - 4z + 3 = 0\):
\[
1 + 2 \cdot 3 - 4 \cdot 0 + 3 = 0 \quad \text{{(выполняется)}}
\]

2) \(2x - y + 3z + 1 = 0\):
\[
2 - 2 + 3 \cdot 0 + 1 = 0 \quad \text{{(выполняется)}}
\]

Как мы видим, прямая действительно лежит в обеих плоскостях при \(k = -25\) и имеет уравнение \(7x - y - 25z = 0\).