1. Три вектора a→, b→ и c→ не лежат в одной плоскости и расположены на рёбрах куба, имеющих общую вершину. Точка

  • 18
1. Три вектора a→, b→ и c→ не лежат в одной плоскости и расположены на рёбрах куба, имеющих общую вершину. Точка E разделяет ребро AB таким образом, что отношение AE к EB равно 4 к 1, а точка F делит ребро CC1 так, что отношение CF к FC1 равно 3 к 7.
2. Упростите выражение 4a→ минус 2 умножить на 4a→ плюс 2b→ минус 2 умножить на 2c→ плюс 4a→ плюс 3b→.
Таинственный_Рыцарь
25
Задача 1:

Предположим, что точка A является общей вершиной для векторов \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \), и \( \overrightarrow{c} \), а точки E и F расположены на рёбрах куба следующим образом:

Примем, что длина ребра куба равна 1 (для удобства вычислений).

Точка E делит ребро AB так, что отношение AE к EB равно 4 к 1. Следовательно, длина вектора AE = 4/5, а длина вектора EB = 1/5.

Точка F делит ребро CC1 так, что отношение CF к FC1 равно 3 к 7. Это означает, что длина вектора CF = 3/10, а длина вектора FC1 = 7/10.

Теперь рассмотрим расположение векторов в пространстве. Так как вектора \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \), и \( \overrightarrow{c} \) не лежат в одной плоскости, то они образуют тройку правильного треугольника в трёхмерном пространстве.

Задача 2:

Упростим данное выражение:

\[4\overrightarrow{a} - 2 \cdot 4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - 2 \cdot 2\overrightarrow{c} + 4\overrightarrow{a}\]

\[= 4\overrightarrow{a} - 8\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{c} + 4\overrightarrow{a}\]

\[= (4 - 8 + 4)\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{c}\]

\[= 0\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{c}\]

\[= 2\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{c}\]

Ответ: \(2\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{c}\)