Какие значения коэффициента c прямой x+y+c=0 обеспечивают ей единственную точку касания с окружностью, определенной

Чудесный_Мастер_8706

66

Для того чтобы определить значения коэффициента \(c\), которые обеспечивают прямой \(x+y+c=0\) единственную точку касания с заданной окружностью \(x^2+y^2=18\), нам необходимо найти условия, при которых эти две фигуры имеют ровно одну общую точку.

Первым шагом, давайте найдем точки пересечения прямой и окружности. Для этого нам нужно решить систему уравнений, объединяющих уравнение прямой и уравнение окружности.

Подставим выражение \(y = -x - c\) из уравнения прямой в уравнение окружности:
\[x^2 + (-x-c)^2 = 18\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[x^2 + x^2 + 2xc + c^2 = 18\]

Сгруппируем слагаемые:
\[2x^2 + 2xc + c^2 - 18 = 0\]

Получим квадратное уравнение относительно переменной \(x\):
\[2x^2 + (2c)x + (c^2 - 18) = 0\]

Для того чтобы прямая и окружность имели ровно одну общую точку касания, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:
\[D = (2c)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (c^2 - 18) = 0\]

Решим это уравнение относительно \(c\):
\[4c^2 - 8c^2 + 144 = 0\]
\[-4c^2 + 144 = 0\]
\[4c^2 = 144\]
\[c^2 = 36\]
\[c = \pm 6\]

Таким образом, два значения коэффициента \(c\), обеспечивающих прямой \(x+y+c=0\) единственную точку касания с окружностью \(x^2+y^2=18\), это \(c = 6\) и \(c = -6\).

Подставляя эти значения обратно в уравнение прямой, получаем две прямые:
\[x + y + 6 = 0\]
\[x + y - 6 = 0\]

Изобразим их на графике вместе с окружностью, чтобы проиллюстрировать место их пересечения и касания.

\[
\text{{graph here}}
\]

Таким образом, когда \(c = 6\) или \(c = -6\), прямая \(x+y+c=0\) имеет единственную точку касания с окружностью \(x^2+y^2=18\).