Какие значения коэффициента c уравнения прямой x+y+c=0 приводят к тому, что прямая и окружность x^2+y^2=200 имеют одну

Букашка

45

Чтобы найти значения коэффициента c, при которых прямая x+y+c=0 будет касаться окружности x^2+y^2=200, мы должны найти точку, в которой прямая и окружность имеют общую точку. Касание означает, что прямая будет иметь только одну точку пересечения с окружностью.

Для начала, давайте найдем условия касания прямой и окружности. Когда прямая касается окружности, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности. Радиус окружности в данной задаче равен \(\sqrt{200}\).

Теперь давайте найдем расстояние от центра окружности до прямой x+y+c=0. Для этого мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и прямой. Расстояние d от точки (x_0, y_0) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

В нашем случае, прямая имеет уравнение x+y+c=0, поэтому A=1, B=1 и C=c. Центр окружности находится в точке (0, 0), поэтому x_0 = 0 и y_0 = 0. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

\[d = \frac{|0 + 0 + c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}\]

Расстояние d должно быть равно радиусу окружности \(\sqrt{200}\). Поэтому мы можем записать уравнение:

\[\frac{|c|}{\sqrt{2}} = \sqrt{200}\]

Чтобы решить это уравнение, давайте избавимся от модуля, возведя обе части в квадрат:

\[\frac{c^2}{2} = 200\]

Теперь умножим обе части уравнения на 2:

\[c^2 = 400\]

Найдем квадратный корень обеих частей:

\[c = \pm 20\]

Таким образом, значения коэффициента c, при которых прямая x+y+c=0 касается окружности x^2+y^2=200, равны -20 и 20.

Ответ: -20; 20.