Какие значения m и n должны быть, чтобы векторы a{m;-2;3} и b{-8;4;n} стали коллинеарными?

Zhuchka_2699

15

Чтобы определить значения \(m\) и \(n\), при которых векторы \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} m \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -8 \\ 4 \\ n \end{pmatrix}\) становятся коллинеарными, мы должны учесть следующие факты:

1. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны, то есть один вектор является кратным другого. То есть вектор \(\mathbf{b}\) должен быть кратным вектору \(\mathbf{a}\).

2. Два вектора коллинеарны только тогда, когда отношение координат их компонентов постоянно. Другими словами, для коллинеарности векторов, соответствующие элементы векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) должны иметь одно и то же отношение.

Теперь давайте рассмотрим эти факты и найдем значения \(m\) и \(n\), удовлетворяющие этим условиям.

Согласно векторным равенствам, мы можем записать:

\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} m \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
\(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -8 \\ 4 \\ n \end{pmatrix}\)

Чтобы векторы были коллинеарными, отношение каждого элемента вектора \(\mathbf{b}\) к соответствующему элементу вектора \(\mathbf{a}\) должно быть постоянным. Поэтому мы можем записать:

\[\frac{{-8}}{{m}} = \frac{{4}}{{-2}} = \frac{{n}}{{3}}\]

Решим первое уравнение:

\[\frac{{-8}}{{m}} = \frac{{4}}{{-2}}\]
\[\frac{{-8}}{{m}} = -2\]
\(m = \frac{{-8}}{{-2}} = 4\)

Теперь используем найденное значение \(m\) и решим второе уравнение:

\[\frac{{4}}{{-2}} = \frac{{n}}{{3}}\]
\(\frac{{-2}}{{-2}} = \frac{{n}}{{3}}\)
\(n = -2 \cdot \frac{{3}}{{-2}} = 3\)

Итак, значениями \(m\) и \(n\), при которых векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) становятся коллинеарными, являются \(m = 4\) и \(n = 3\).