Какие значения могут принимать сумма a+b+c, если для действительных чисел a, b, c выполнены равенства: 1/a+7/b=5/c

Solnyshko

70

Для начала рассмотрим первое уравнение 1/a + 7/b = 5/c. Мы можем привести его к общему знаменателю, умножив каждую часть на abс:

ab/c + 7ac/b = 5ab/c.

Теперь запишем второе уравнение 7/a + 1/b = 11/c, также приведя его к общему знаменателю:

7bc/ab + ab/c = 11bc/ab.

Далее рассмотрим третье уравнение a + b/5 = 3/c. Умножим его на 5c:

5ac + bc = 15ab/c.

Теперь напишем систему из получившихся уравнений:

ab/c + 7ac/b = 5ab/c,
7bc/ab + ab/c = 11bc/ab,
5ac + bc = 15ab/c.

Мы можем умножить каждое уравнение на общий знаменатель, тогда получим:

a^2b + 7ac^2 = 5ab^2,
7b^2c + a^2c = 11bc^2,
5ac^2 + bc^2 = 15ab.

Теперь сложим все три уравнения вместе:

a^2b + 7ac^2 + 7b^2c + a^2c + 5ac^2 + bc^2 = 5ab^2 + 11bc^2 + 15ab.

Можем упростить это уравнение:

a^2b + 7ac^2 + 7b^2c + a^2c + 5ac^2 + bc^2 - 5ab^2 - 11bc^2 - 15ab = 0.

Перегруппируем слагаемые:

a^2b + a^2c - 5ab^2 + 7ac^2 + 5ac^2 + 7b^2c - 11bc^2 - 15ab + bc^2 = 0.

Мы можем сгруппировать слагаемые по степеням переменных:

a^2(b + c) + 5ac(a + c) - 5ab^2 - 11bc^2 - 15ab + bc^2 = 0.

Теперь факторизуем это уравнение:

(a^2 - 5ab + bc)(b + c) + 5ac(a + c) - 11bc^2 = 0.

Поскольку мы ищем значения суммы a + b + c, давайте рассмотрим следующие случаи:

1) Пусть a^2 - 5ab + bc = 0 и a + c = 0. Это означает, что a = c = 0. В этом случае, чтобы уравнение b + c = 0 выполнялось, b также должно быть равно 0. Таким образом, a + b + c = 0.

2) Пусть b + c = 0 и 5ac(a + c) - 11bc^2 = 0. Заметим, что в этом случае a и c не могут быть равными 0, иначе оба уравнения превратятся в 0 = 0. Также заметим, что 5ac(a + c) - 11bc^2 можно факторизовать следующим образом: ac(5(a + c) - 11c^2). Поскольку a и c не могут быть равными 0, рассмотрим два варианта:

2.1) a + c = 0. В этом случае a = -c и, подставив это в уравнение 5(a + c) - 11c^2 = 0, получим -10c - 11c^2 = 0. Один из возможных вариантов решения данного уравнения - c = 0, что означает c = 0. В этом случае b = -c = 0 и a + b + c = 0.

2.2) 5(a + c) - 11c^2 = 0. В этом случае у нас есть одно уравнение с двумя неизвестными (a и c), и мы не можем однозначно определить их значения. Поэтому этот вариант не предоставляет нам конкретных значений для суммы a + b + c.

Таким образом, мы получаем два возможных значения суммы a + b + c: 0 (когда a, b и c равны 0) и случай, когда некоторые из переменных равны 0, а другие переменные могут быть произвольными.