Какие значения p удовлетворяют уравнению arctg(3p2−1)=arctg(2p2+p+1), записанные в порядке возрастания?

Peschanaya_Zmeya

21

Давайте решим данную задачу шаг за шагом:

Шаг 1: Приведение уравнения к общему виду:
Наша задача состоит в том, чтобы найти все значения \( p \), при которых данное уравнение выполняется. Для этого приведем оба аргумента функции арктангента к общему знаменателю, чтобы уравнение выглядело следующим образом:

\[ \arctan(3p^2-1) = \arctan(2p^2+p+1) \]

Шаг 2: Применение тригонометрических свойств:
Используем свойство равенства аргументов функции арктангента: если \( \arctan(a) = \arctan(b) \), то \( a = b \). Таким образом, для того чтобы уравнение было верным, необходимо и достаточно, чтобы аргументы функций арктангента были равными:

\[ 3p^2 - 1 = 2p^2 + p + 1 \]

Шаг 3: Перенос всего в одну часть уравнения:
Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[ 3p^2 - 2p^2 - p - 2 = 0 \]

Шаг 4: Упрощение и факторизация:
Упростим уравнение, объединив подобные члены:

\[ p^2 - p - 2 = 0 \]

Теперь факторизуем это квадратное уравнение:

\[ (p - 2)(p + 1) = 0 \]

Шаг 5: Поиск решений:
Используем нулевое свойство произведения: если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из них должно быть равно нулю. Таким образом, уравнение имеет два решения:

1) \( p - 2 = 0 \Rightarrow p = 2 \)
2) \( p + 1 = 0 \Rightarrow p = -1 \)

Шаг 6: Проверка решений:
Подставим найденные значения \( p \) в исходное уравнение, чтобы проверить их:

При \( p = 2 \):
\[ \arctan(3 \cdot 2^2 - 1) = \arctan(2 \cdot 2^2 + 2 + 1) \]
\[ \arctan(11) = \arctan(11) \]
Оба выражения равны, значит \( p = 2 \) является решением уравнения.

При \( p = -1 \):
\[ \arctan(3 \cdot (-1)^2 - 1) = \arctan(2 \cdot (-1)^2 + (-1) + 1) \]
\[ \arctan(2) = \arctan(2) \]
Также оба выражения равны, поэтому \( p = -1 \) также является решением уравнения.

Шаг 7: Ответ:
Итак, значения \( p \), удовлетворяющие данному уравнению и записанные в порядке возрастания, это \( p = -1 \) и \( p = 2 \).