Какие значения параметра a приводят к тому, что корень уравнения (a+8)sin2x=a^2/4-8 будет равен числу ПИ/12? Укажите

Якорь

46

Для начала, давайте решим уравнение и найдем значения параметра a, при которых корень уравнения будет равен числу \(\frac{\pi}{12}\):

\((a+8)\sin(2x) = \frac{a^2}{4} - 8\)

Обратите внимание, что корень уравнения будет равен \(\frac{\pi}{12}\) только в том случае, если само выражение внутри корня равно \(\left(\frac{\pi}{12}\right)^2\):

\((a^2/4) - 8 = \left(\frac{\pi}{12}\right)^2\)

Теперь решим это уравнение:

\(\frac{a^2}{4} - 8 = \frac{\pi^2}{144}\)

Перенесем \(\frac{\pi^2}{144}\) на левую сторону:

\(\frac{a^2}{4} - \frac{\pi^2}{144} + 8 = 0\)

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение. Нашими корнями будут:

\(a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где a = \(\frac{1}{4}\), b = -\(\frac{\pi^2}{144}\), и c = 8.

Подставим значения и решим:

\(a = \frac{-(-\frac{\pi^2}{144}) \pm \sqrt{(-\frac{\pi^2}{144})^2 - 4(\frac{1}{4})(8)}}{2(\frac{1}{4})}\)

Упростим это выражение:

\(a = \frac{\frac{\pi^2}{144} \pm \sqrt{\frac{\pi^4}{20736} - \frac{32}{4}}}{\frac{1}{2}}\)

\(a = \frac{\frac{\pi^2}{144} \pm \sqrt{\frac{\pi^4}{20736} - 8}}{\frac{1}{2}}\)

\(a = \frac{\frac{\pi^2}{144} \pm \sqrt{\frac{\pi^4 - 8 \cdot 20736}{20736}}}{\frac{1}{2}}\)

\(a = \frac{\frac{\pi^2}{144} \pm \sqrt{\frac{\pi^4 - 8 \cdot 20736}{20736}}}{\frac{1}{2}}\)

Теперь, нам нужно определить значения a, которые удовлетворяют уравнению и выбрать сумму этих значений из предложенных вариантов ответа.

Проанализируем дискриминант в корне выражения в квадратных скобках. Если дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет реальных решений. Если дискриминант равен нулю, то у нас будет одно решение. Если дискриминант больше нуля, у нас будет два различных решения.

\(D = \pi^4 - 8 \cdot 20736\)

\(D = \pi^4 - 165888\)

Теперь, вычислим дискриминант:

\(D = \pi^4 - 165888\)

Используя это значение дискриминанта, мы можем определить, сколько решений уравнения. Поскольку дискриминант отрицателен, у нас нет реальных решений.

Таким образом, уравнение не имеет решений, и сумма значений параметра a, при которых это уравнение выполняется, равна 0.

Поэтому, ни один из вариантов ответа не является правильным.