Какие значения параметра a удовлетворяют условию: система уравнений ((x+5)^2+y^2-a^2)*ln(9-x^2-y^2)=0

Solnechnyy_Feniks_6141

10

Для начала рассмотрим первое уравнение:

\[((x+5)^2+y^2-a^2) \cdot \ln(9-x^2-y^2) = 0\]

Выделение условий для двух различных решений:
1. Произведение факторов равно нулю, а следовательно, один из факторов равен нулю:

\[(x+5)^2 + y^2 - a^2 = 0 \quad \text{или} \quad \ln(9-x^2-y^2) = 0\]

2. Произведение факторов не равно нулю, но их сумма равна нулю:

\[(x+5)^2 + y^2 - a^2 \neq 0 \quad \text{но} \quad \ln(9-x^2-y^2) \neq 0\]

Перейдём к решению первого уравнения:

1. Рассмотрим первый фактор:

\[(x+5)^2 + y^2 - a^2 = 0\]

Мы знаем, что \((x+5)^2\) и \(y^2\) всегда неотрицательны. Поэтому, чтобы получить решения, необходимо и достаточно, чтобы \(a^2\) было меньше либо равно сумме квадратов \(x+5\)^2 и \(y^2\):

\[a^2 \leq (x+5)^2 + y^2\]

2. Рассмотрим второй фактор:

\[\ln(9-x^2-y^2) = 0\]

Так как логарифм равен нулю только при аргументе, равном единице, получим условие:

\[9 - x^2 - y^2 = 1\]

или

\[x^2 + y^2 = 8\]

Теперь перейдём ко второму уравнению:

\[((x+5)^2 + y^2 - a^2) \cdot (x + y - a + 5) = 0\]

Так как умножение равно нулю при условии, что хотя бы один из факторов равен нулю, получим два дополнительных условия:

\[(x+5)^2 + y^2 - a^2 = 0\]

\[x + y - a + 5 = 0\]

Таким образом, условиями для получения системы, имеющей два различных решения, являются:

\[a^2 \leq (x+5)^2 + y^2\]
\[x^2 + y^2 = 8\]
\[(x+5)^2 + y^2 - a^2 = 0\]
\[x + y - a + 5 = 0\]

Найденные условия гарантируют наличие двух различных решений данной системы уравнений.