Задание 2. Проанализируйте функцию f(x) = -1/3x^3+4x+3 и нарисуйте её график. Задание 4. Исходя из данных задания

Svetik

36

Задание 2:
Для начала проанализируем функцию \(f(x) = -\frac{1}{3}x^3+4x+3\). Чтобы построить график этой функции, нам нужно определить ее поведение при различных значениях аргумента.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат.
Когда \(x = 0\), мы имеем \(f(0) = -\frac{1}{3}(0)^3 + 4(0) + 3 = 3\). Таким образом, у нас есть точка (0, 3), через которую проходит график функции.

2. Выясним, как функция меняется при изменении аргумента \(x\).
Проанализируем производную функции \(f"(x)\), чтобы найти экстремумы и точки перегиба.

\(f"(x) = -x^2 + 4\)
Для определения экстремумов найдем значения \(x\), при которых \(f"(x) = 0\):
\(-x^2 + 4 = 0\)
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm 2\)

Рассмотрим знак \(f"(x)\) на разных интервалах:
- Если \(x < -2\), то \(f"(x) < 0\), что значит, что функция убывает на этом интервале.
- Если \(-2 < x < 2\), то \(f"(x) > 0\), что значит, что функция возрастает на этом интервале.
- Если \(x > 2\), то \(f"(x) < 0\), что значит, что функция снова убывает.

3. Найдем точки перегиба.
Проанализируем вторую производную функции \(f""(x)\), чтобы найти точки перегиба.
\[f""(x) = -2x\]
\(f""(x) = 0\) при \(x = 0\).

Рассмотрим знак \(f""(x)\) на разных интервалах:
- Если \(x < 0\), то \(f""(x) > 0\), что значит, что функция выпукла вверх до точки перегиба.
- Если \(x > 0\), то \(f""(x) < 0\), что значит, что функция выпукла вниз после точки перегиба.

4. Нарисуем график функции.
Собрав все полученные сведения, мы можем построить график функции \(f(x)\):

\[graph\]

График функции \(f(x) = -\frac{1}{3}x^3+4x+3\) проходит через точку (0, 3), возрастает на интервале \(-2 < x < 2\) и убывает на остальных интервалах. Есть точка перегиба в (0, 0).

Задание 4:
Теперь, исходя из данных задания 2, нам нужно определить количество корней уравнения \(f(x) = m\), где \(m\) - любое действительное число.

Количество корней уравнения \(f(x) = m\) будет зависеть от того, насколько раз функция \(f(x)\) пересекает горизонтальную линию \(y = m\).

Если мы на графике нарисуем горизонтальную линию \(y = m\), то количество пересечений этой линии и графика функции \(f(x)\) будет равно количеству корней уравнения \(f(x) = m\).

Таким образом, мы можем сказать, что количество корней уравнения \(f(x) = m\) будет равно количеству пересечений горизонтальной линии \(y = m\) и графика функции \(f(x)\). При этом нужно учесть, что горизонтальная линия может пересекать график функции в точках, касательных или перегибающих его.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять анализ функции и определение количества корней уравнения. Если возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.