Какие значения переменной x удовлетворяют уравнениям 3tgx=-кор3 и sinx+0.5=0 на интервале [0,2п]?

Заблудший_Астронавт

36

Давайте посмотрим на каждое уравнение по отдельности и найдем значения переменной x, которые удовлетворяют данным уравнениям.

Уравнение 1: 3tgx = -кор3
Нам нужно найти значения x, при которых \(3\tan(x) = -\sqrt{3}\).

Тангенс является тригонометрической функцией, которая определена как отношение синуса к косинусу. В данном случае, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратные функции и вычислить арктангенс (-\sqrt{3}) или, другими словами, угол, тангенс которого равен -\sqrt{3}.

\(\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}\)

Теперь мы знаем, что \(\tan(x) = -\sqrt{3}\) эквивалентно \(x = -\frac{\pi}{3} + n\pi\), где n - любое целое число. Однако, указан интервал \([0,2\pi]\), поэтому мы можем ограничить значения x в этом интервале:

\(x = -\frac{\pi}{3} + \pi\) или \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi\)

Применяя эти значения к исходному уравнению, мы получаем \(3\tan\left(-\frac{\pi}{3} + \pi\right) = -\sqrt{3}\) и \(3\tan\left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi\right) = -\sqrt{3}\).

Уравнение 2: sinx + 0.5 = 0
Теперь рассмотрим второе уравнение. Чтобы найти значения x, удовлетворяющие данному уравнению, мы вычтем 0.5 с обеих сторон:

\(\sin(x) = -0.5\)

Аналогично предыдущему уравнению, мы можем использовать обратную функцию синуса и вычислить арксинус (-0.5), то есть угол, синус которого равен -0.5:

\(\sin^{-1}(-0.5) = -\frac{\pi}{6}\)

Теперь мы имеем \(x = -\frac{\pi}{6} + n\pi\), где n - любое целое число. Поскольку есть ограничение интервала \([0,2\pi]\), мы можем перечислить значения x, удовлетворяющие этим условиям:

\(x = -\frac{\pi}{6} + \pi\)

Применяя это значение к исходному уравнению, мы получаем \(\sin\left(-\frac{\pi}{6} + \pi\right) + 0.5 = 0\).

Таким образом, значения переменной x, удовлетворяющие обоим уравнениям, могут быть представлены следующим образом:

\(x = \left\{-\frac{\pi}{3} + \pi, -\frac{\pi}{3} + 2\pi, -\frac{\pi}{6} + \pi\right\}\) на интервале [0,2п].

Надеюсь, это полное и понятное объяснение поможет вам понять решение данной задачи! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.