Какие значения радиуса и высоты цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму со всеми ребрами равными

Жужа

51

Для решения данной задачи, нам необходимо учесть свойства правильной треугольной призмы и связать их с параметрами цилиндра, который вписан в эту призму.

Пусть сторона основания треугольной призмы равна \(a\), а высота этой призмы равна \(h\).

1. Найдем радиус цилиндра. Если цилиндр вписан в призму, то его основание должно касаться ребер призмы. Рассмотрим одно из таких ребер и обозначим его \(CD\). Оно равно высоте призмы \(h\). Также, ребро \(CD\) является высотой боковой грани призмы. Будем считать, что цилиндр касается этой грани в точке \(E\).

\[
\begin{align*}
BE &= BD - DE \\
&= a - \frac{a}{2} \\
&= \frac{a}{2}
\end{align*}
\]

Также, точка \(E\) является центром окружности, вписанной в основание цилиндра. Радиус этой окружности будет равен половине высоты боковой грани призмы \(BE\). Следовательно, радиус цилиндра \(r\) равен \(\frac{a}{4}\).

2. Теперь найдем высоту цилиндра. Высота цилиндра будет равна высоте призмы \(h\).

Таким образом, значения радиуса и высоты цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму со всеми ребрами равными \(a\), будут равны \(r = \frac{a}{4}\) и \(h = a\).

Школьнику будет полезно визуализировать данную ситуацию с помощью рисунка для лучшего понимания.