4. Побудуйте трикутник, який буде симетричний до різностороннього трикутника АВС відносно точки О, що знаходиться

Molniya

24

4. Щоб побудувати трикутник, який буде симетричний до різностороннього трикутника АВС відносно точки О, спочатку нам потрібно знайти точку О, яка знаходиться посередині сторони ВС.

Оскільки трикутник АВС є різностороннім, то сторони АВ і АС мають різні довжини. Щоб знайти точку О, ми повинні взяти середину сторони ВС. Знаючи координати точок В(-3; y) та С(x; 4), ми можемо використати формулу для знаходження середини відрізка:

\[ x_O = \dfrac{x_B + x_C}{2} \]
\[ y_O = \dfrac{y_B + y_C}{2} \]

Підставляючи значення знаходимо:

\[ x_O = \dfrac{-3 + x}{2} \]
\[ y_O = \dfrac{y + 4}{2} \]

Отже, координати точки О будуть:

\[ O\left(\dfrac{-3 + x}{2}, \dfrac{y + 4}{2}\right) \]

Знаючи координати точки О, ми можемо побудувати симетричний трикутник А1В1С1 відносно точки О, використовуючи віддзеркалення кожної точки відносно центральної точки О.

5. Щоб виконати поворот рівнобедреного трикутника ВСК з основою ВС за годинниковою стрілкою на кут 90° навколо точки К, ми можемо використати формули повороту точки (x, y) навколо заданої точки (a, b) за годинниковою стрілкою на кут α:

\[ x" = a + (x - a) \cdot \cos(\alpha) + (y - b) \cdot \sin(\alpha) \]
\[ y" = b - (x - a) \cdot \sin(\alpha) + (y - b) \cdot \cos(\alpha) \]

В нашому випадку, точка К має координати (x_K, y_K), а кут повороту α дорівнює 90°. Замінюючи значення знаходимо:

\[ x" = x_K + (x - x_K) \cdot \cos(90°) + (y - y_K) \cdot \sin(90°) \]
\[ y" = y_K - (x - x_K) \cdot \sin(90°) + (y - y_K) \cdot \cos(90°) \]

Знаючи значення кута 90°, спрощуємо формули:

\[ x" = x_K - (y - y_K) \]
\[ y" = y_K + (x - x_K) \]

Отже, координати нової точки після повороту будуть:

\[ K"(x", y") = \left(x_K - (y - y_K), y_K + (x - x_K)\right) \]

6. Щоб знайти значення x та y, при яких точки B(-3; y) і B(x; 4) є симетричними відносно точки O(1; 5), ми можемо скористатися властивістю симетрії. Якщо точки B і B" є симетричними відносно точки O, то відстань від точки B до O дорівнює відстані від точки B" до O.

Використовуючи формулу відстані між двома точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Ми можемо записати рівняння:

\[ \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 5)^2} = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (y - 4)^2} \]

Складаємо рівняння і розв"язуємо його:

\[ (x - 1)^2 + (y - 5)^2 = (-3 - 1)^2 + (y - 4)^2 \]
\[ (x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 16 + (y - 4)^2 \]
\[ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 = 16 + y^2 - 8y + 16 \]
\[ x^2 - 2x + y^2 - 10y + 10 = 0 \]

Це квадратне рівняння ми можемо розв"язати для знаходження значення x та y.

7. При паралельному перенесенні точка А(1; -3) зміщується до точки В(-1; 4). Щоб знайти точку С(1; -5) після цього паралельного перенесення, ми можемо скористатися властивістю паралельного перенесення. Якщо вектор, що зміщує точку А до точки В, є такий самий для точки С, то точка С зміщується до точки С".

Відстань по горизонталі і вертикалі між точками А і В дорівнює відстані між точками С і С".

Ми можемо записати систему рівнянь:

\[ -1 - 1 = 1 - x_C \]
\[ 4 + 3 = -5 - y_C \]

Розв"язуючи цю систему, знаходимо значення x_C та y_C:

\[ -2 = 1 - x_C \Rightarrow x_C = 1 - (-2) = 3 \]
\[ 7 = -5 - y_C \Rightarrow y_C = -5 - 7 = -12 \]

Отже, точка С після паралельного перенесення буде мати координати (3, -12).