Какие значения скорости и ускорения имеет материальная точка на пути от ее крайнего положения до положения равновесия

Skvoz_Pesok

36

Для решения данной задачи нам понадобятся основные уравнения гармонических колебаний.

Первое из них - уравнение для периода колебаний \(T\), задаваемое формулой:
\[T = \frac{1}{f}\]
где \(f\) - частота колебаний.

В нашем случае, частота колебаний равна 500 Гц, поэтому период колебаний можно вычислить следующим образом:
\[T = \frac{1}{500} = 0.002 \, \text{с}\]

Для материальной точки при колебаниях с амплитудой \(A\) и периодом \(T\) можно также выразить скорость \(v\) и ускорение \(a\) точки на любом отрезке пути от ее крайнего положения до положения равновесия.

Формулы для скорости и ускорения материальной точки в зависимости от времени \(t\) на таком отрезке пути имеют вид:
\[v = 2\pi fA \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{t}{T}\right)^2}\]
\[a = 4\pi^2 f^2A \cdot \left(\frac{t}{T}\right)\cdot \sqrt{1 - \left(\frac{t}{T}\right)^2}\]

Максимальное значение скорости \(v_{\text{max}}\) и ускорения \(a_{\text{max}}\) материальной точки соответствуют положению крайней точки колебаний. Значение времени \(t\) в этом случае равно половине периода \(T/2\), поэтому:
\[v_{\text{max}} = 2\pi fA\]
\[a_{\text{max}} = 4\pi^2 f^2A\]

В нашей задаче, амплитуда колебаний равна 0.02 см (или 0.0002 м), а частота колебаний равна 500 Гц, поэтому максимальные значения скорости \(v_{\text{max}}\) и ускорения \(a_{\text{max}}\) точки можно вычислить следующим образом:
\[v_{\text{max}} = 2\pi \cdot 500 \cdot 0.0002 = 0.628 \, \text{м/с}\]
\[a_{\text{max}} = 4\pi^2 \cdot 500^2 \cdot 0.0002 = 1973.50 \, \text{м/с}^2\]

Таким образом, значения скорости и ускорения материальной точки на пути от крайнего положения до положения равновесия при гармонических колебаниях с амплитудой 0.02 см и частотой 500 Гц составляют 0.628 м/с и 1973.50 м/с² соответственно. Максимальные значения скорости и ускорения точки при этом составляют 0.628 м/с и 1973.50 м/с² соответственно.