Какие значения удовлетворяют данному показательному уравнению 5 −3⋅x+5=0,04 x−3? x=-1, x=-3

Poyuschiy_Dolgonog

37

Давайте начнём с анализа показательных уравнений, чтобы понять, как найти их решения.

Показательное уравнение можно записать в виде: \(a \cdot b^x = c \cdot d^x\), где \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) - это числа.

Теперь применим эту концепцию к данному уравнению: \(5^{n-3} \cdot x^5 = 0.04 \cdot x^{-3}\), где \(n\) - выражение, равное 5, а \(x\) - переменная.

Сравним оба слева и справа выражения, чтобы выяснить, какие значения \(x\) удовлетворяют данному уравнению.

Из данного уравнения мы видим, что \(x\) находится как в основании степени, так и в показателе степени, поэтому нам нужно привести это уравнение к более удобному виду, чтобы найти решения.

Сначала сделаем общую базу для обеих сторон уравнения, поделив обе части на \(0.04 \cdot x^{-3}\):

\[\frac{5^{n-3} \cdot x^5}{0.04 \cdot x^{-3}} = 1\]

Теперь, используя свойства степеней, упростим это выражение:

\[\frac{5^{n-3}}{0.04} \cdot \frac{x^5}{x^{-3}} = 1\]

Теперь применим свойства деления степеней с одинаковыми основаниями и умножения степеней с одинаковыми основаниями:

\[\frac{5^{n-3}}{0.04} \cdot x^{5-(-3)} = 1\]

Упростим:

\[\frac{5^{n-3}}{0.04} \cdot x^8 = 1\]

Теперь избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 0.04:

\[\frac{5^{n-3}}{0.04} \cdot x^8 \cdot 0.04 = 1 \cdot 0.04\]

\[\frac{5^{n-3}}{25} \cdot x^8 = 0.04\]

Теперь приведём это уравнение к более простому виду:

\[\frac{5^{n-3}}{25} \cdot x^8 = \frac{4}{100}\]

\[\frac{5^{n-3}}{25} \cdot x^8 = \frac{1}{25}\]

Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, то они равны только в том случае, если их числители тоже равны. Поэтому:

\[\frac{5^{n-3}}{25} = \frac{1}{25}\]

Теперь уберём знаменатель, умножив обе части уравнения на 25:

\[\frac{5^{n-3}}{25} \cdot 25 = \frac{1}{25} \cdot 25\]

\[5^{n-3} = 1\]

Мы получили новое уравнение: \(5^{n-3} = 1\). Здесь мы ищем значения \(n\), при которых \(5^{n-3}\) равно 1.

Для этого используем свойство степени, согласно которому любое число, возведённое в степень 0, равно 1. Поэтому нам нужно найти значения \(n-3\), при которых \(5^{n-3} = 1\). Один из таких случаев - это \(n-3 = 0\), что означает, что \(n = 3\).

Таким образом, для данного показательного уравнения \(5^{n-3} \cdot x^5 = 0.04 \cdot x^{-3}\) с переменной \(x\), значения \(x = -1\) и \(x = -3\) удовлетворяют этому уравнению при \(n = 3\).