Какие значения x должны быть, чтобы функция f(x) = x^2 - 100x имела неотрицательные значения?

Весенний_Лес

54

Для определения значений \(x\), при которых функция \(f(x) = x^2 - 100x\) имеет неотрицательные значения, нужно найти интервалы, на которых функция является неотрицательной или равной нулю.

Для начала, обратим внимание на то, что функция \(f(x)\) представлена квадратным трехчленом. Поэтому, чтобы определить её знак, мы можем рассмотреть дискриминант квадратного уравнения \(\Delta = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -100\), и \(c = 0\).

Сначала найдем значение дискриминанта:
\(\Delta = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0\)
\(\Delta = 10000\).

Поскольку дискриминант \(\Delta\) больше нуля (\(\Delta > 0\)), это означает, что квадратное уравнение имеет два различных корня (два значения \(x\)).

Далее, чтобы найти значения \(x\), при которых функция \(f(x)\) неотрицательная, определим вершины параболы. Формула вершины параболы имеет вид \(x = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае, \(a = 1\) и \(b = -100\), поэтому вершина параболы будет находиться в точке \(x = -\frac{-100}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50\).

Теперь, рассмотрим значения \(x\) на интервалах, которые находятся слева и справа от вершины параболы.

1. Интервал слева от вершины (от \(-\infty\) до \(x = 50\)):
Установим, что \(f(x)\) будет неотрицательной или равной нулю, когда \(x\) будет меньше или равно 0 и больше или равно 50. Это можно объяснить следующим образом: квадратное выражение \(x^2\) в данной функции всегда положительно или равно нулю, и отрицательный коэффициент перед \(x\) \((-100x)\) изменит знак на противоположный при \(x \geq 50\), сделав \(f(x)\) неотрицательной.

Таким образом, интервал слева от вершины (\(-\infty\) до \(x \leq 0\) или \(x \geq 50\)) является интервалом, при котором функция \(f(x)\) имеет неотрицательные значения.

2. Интервал справа от вершины (от \(x = 50\) до \(+\infty\)):
На интервале спрашива функция \(f(x)\) всегда положительная, так как коэффициент перед \(x^2\) положительный. Следовательно, функция \(f(x)\) будет положительной на этом интервале, но неотрицательность не достигается.

Таким образом, ответ на задачу:
Чтобы функция \(f(x) = x^2 - 100x\) имела неотрицательные значения, значения \(x\) могут быть либо меньше либо равны 0, либо больше либо равны 50.