Какие значения x должны быть, чтобы производная функции f(x) = (2x - 1)2 была равна?

Весенний_Лес

4

Чтобы найти значения \(x\), при которых производная функции \(f(x) = (2x - 1)^2\) равна нулю, мы сначала должны выразить \(f"(x)\) с использованием формулы для производной квадратной функции.

Для начала, раскроем квадрат внутри функции \(f(x)\), используя формулу \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Применим эту формулу, где \(a = 2x\) и \(b = 1\):

\[f(x) = (2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1\]

Теперь возьмем производную функции \(f(x)\), чтобы найти \(f"(x)\). Для этого мы используем правила дифференцирования, которые говорят, что производная степенной функции \(ax^n\) равна \(anx^{n-1}\) и производная суммы функций равна сумме производных.

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 - 4x + 1) = \frac{d}{dx}(4x^2) - \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(1) = 8x - 4\]

Теперь мы получили производную функции \(f(x)\), которая равна \(f"(x) = 8x - 4\). Теперь нужно найти значения \(x\), при которых производная равна нулю:

\[8x - 4 = 0\]

Для решения этого уравнения, добавим 4 к обеим сторонам и разделим на 8:

\[8x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, чтобы производная функции \(f(x) = (2x - 1)^2\) была равна нулю, значение \(x\) должно быть равно \(\frac{1}{2}\).