Какие значения x удовлетворяют уравнению 7ctg^2x+2ctgx-5=0?

Ябеда

9

Давайте начнем с решения данного уравнения. Уравнение, которое нам дано, имеет следующий вид:

\[7\cot^2x + 2\cot x - 5 = 0\]

Для начала, давайте заменим \(\cot x\) на \(\frac{1}{\tan x}\). Это сделается для упрощения уравнения. Вспомним, что \(\cot x\) равно обратному значению \(\tan x\), то есть \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\).

Теперь у нас есть:

\[7\left(\frac{1}{\tan x}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{\tan x}\right) - 5 = 0\]

Упростим это уравнение, чтобы оно выглядело более понятно. Для этого можно умножить обе стороны на \(\tan^2x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[7 + 2\tan x - 5\tan^2x = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение по \(\tan x\). Как известно, его можно решить, используя дискриминант. Давайте найдем значения \(\tan x\) для которых уравнение равно нулю.

Подставим символ \(y\) вместо \(\tan x\), чтобы упростить обозначения:

\[7 + 2y - 5y^2 = 0\]

Теперь проверим дискриминант. Формула дискриминанта для квадратного уравнения \(ay^2 + by + c\) выглядит следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае коэффициенты равны: \(a = -5\), \(b = 2\) и \(c = 7\). Рассчитаем значение дискриминанта:

\[D = (2)^2 - 4(-5)(7) = 4 + 140 = 144\]

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два корня для уравнения. Формула для нахождения корней квадратного уравнения имеет следующий вид:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим наши значения:

\[y = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{2(-5)} = \frac{-2 \pm 12}{-10}\]

Сократим дробь и рассчитаем значения:

\[y_1 = \frac{-2 + 12}{-10} = \frac{10}{-10} = -1\]
\[y_2 = \frac{-2 - 12}{-10} = \frac{-14}{-10} = \frac{7}{5}\]

Теперь, когда мы найдем значения \(y\), мы можем найти значения \(\tan x\), вернувшись к исходному обозначению. Заметим, что если \(\tan x\) равно \(\frac{7}{5}\), то мы не можем подставить это значение в исходное уравнение, так как \(\tan x\) не определено для такого значения.

Однако, если \(\tan x\) равно -1, то это значение удовлетворяет исходному уравнению. Вспомним, что \(\cot x\) равно обратному значению \(\tan x\), значит:

\[\cot x = -1\]

Теперь найдем значение \(x\) используя аркотангенс:

\[x = \text{arccot}(-1)\]

Аркотангенс - это обратная функция тангенсу, и он может иметь несколько значений. В данном случае, одним из значений будет \(\frac{\pi}{4}\). Таким образом, уравнение удовлетворяется при \(x = \frac{\pi}{4}\).

Итак, полученный ответ: уравнение \(7\cot^2x + 2\cot x - 5 = 0\) имеет единственное решение, \(x = \frac{\pi}{4}\), при котором значения \(\cot x = -1\) и \(\tan x = -1\).