Какие значения x удовлетворяют уравнению 7ctg^2x+2ctgx-5=0?

Ябеда

9

Давайте начнем с решения данного уравнения. Уравнение, которое нам дано, имеет следующий вид:

$$7{\cot }^{2}x+2\cot x-5=0$$

Для начала, давайте заменим $\cot x$ на $\frac{1}{\tan x}$. Это сделается для упрощения уравнения. Вспомним, что $\cot x$ равно обратному значению $\tan x$, то есть $\cot x=\frac{1}{\tan x}$.

Теперь у нас есть:

$$7{\left(\frac{1}{\tan x}\right)}^2+2\left(\frac{1}{\tan x}\right)-5=0$$

Упростим это уравнение, чтобы оно выглядело более понятно. Для этого можно умножить обе стороны на ${\tan }^{2}x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$7+2\tan x-5{\tan }^{2}x=0$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение по $\tan x$. Как известно, его можно решить, используя дискриминант. Давайте найдем значения $\tan x$ для которых уравнение равно нулю.

Подставим символ $y$ вместо $\tan x$, чтобы упростить обозначения:

$$7+2y-5y^2=0$$

Теперь проверим дискриминант. Формула дискриминанта для квадратного уравнения $a{y}^2+by+c$ выглядит следующим образом:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем случае коэффициенты равны: $a=-5$, $b=2$ и $c=7$. Рассчитаем значение дискриминанта:

$$D=(2{)}^2-4(-5)(7)=4+140=144$$

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два корня для уравнения. Формула для нахождения корней квадратного уравнения имеет следующий вид:

$$y=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим наши значения:

$$y=\frac{-2\pm \sqrt{144}}{2(-5)}=\frac{-2\pm 12}{-10}$$

Сократим дробь и рассчитаем значения:

$$y_1=\frac{-2+12}{-10}=\frac{10}{-10}=-1$$
$$y_2=\frac{-2-12}{-10}=\frac{-14}{-10}=\frac{7}{5}$$

Теперь, когда мы найдем значения $y$, мы можем найти значения $\tan x$, вернувшись к исходному обозначению. Заметим, что если $\tan x$ равно $\frac{7}{5}$, то мы не можем подставить это значение в исходное уравнение, так как $\tan x$ не определено для такого значения.

Однако, если $\tan x$ равно -1, то это значение удовлетворяет исходному уравнению. Вспомним, что $\cot x$ равно обратному значению $\tan x$, значит:

$$\cot x=-1$$

Теперь найдем значение $x$ используя аркотангенс:

$$x=\text{arccot}(-1)$$

Аркотангенс - это обратная функция тангенсу, и он может иметь несколько значений. В данном случае, одним из значений будет $\frac{\pi }{4}$. Таким образом, уравнение удовлетворяется при $x=\frac{\pi }{4}$.

Итак, полученный ответ: уравнение $7{\cot }^{2}x+2\cot x-5=0$ имеет единственное решение, $x=\frac{\pi }{4}$, при котором значения $\cot x=-1$ и $\tan x=-1$.