Каковы значения M, при которых прямая y=m пересекает график функции y=-2- (х^4-x^3)/(x^2-x) ровно 2 раза?

Яблонька_1018

24

Чтобы найти значения \(M\), при которых прямая \(y = m\) пересекает график функции \(y = -2 - \frac{{x^4 - x^3}}{{x^2 - x}}\) ровно 2 раза, мы должны найти точки пересечения между этой прямой и функцией. Для этого мы можем использовать следующий подход:

1. Заменим \(y\) в функции \(y = -2 - \frac{{x^4 - x^3}}{{x^2 - x}}\) на \(m\), чтобы получить уравнение прямой в виде:
\[m = -2 - \frac{{x^4 - x^3}}{{x^2 - x}}\]

2. Решим это уравнение для определения значений \(x\). Для этого мы можем умножить оба выражения на \((x^2 - x)\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[m(x^2 - x) = -2(x^2 - x) - (x^4 - x^3)\]

3. Распределим умножение и упростим уравнение:
\(mx^2 - mx = -2x^2 + 2x - x^4 + x^3\)

4. Соберем все члены уравнения в одном члене и приведем его к виду полинома:
\(x^4 - x^3 + (2 - m)x^2 + (m - 2)x = 0\)

5. Учитывая, что мы ищем две точки пересечения, у нас должно быть два корня для этого уравнения. Используя такие представления как теорему Безу и теорему Виета, мы знаем, что если у нас есть два корня, их произведение будет равняться коэффициенту \(a_0\) при наивысшей степени (в данном случае 1), а сумма корней будет равняться минус коэффициенту перед \(x^{n-1}\) (в данном случае 0):
\[\begin{cases} m - 2 = 0 \\ -(2-m) = 0 \end{cases}\]

6. Решим систему уравнений:
\[\begin{cases} m = 2 \\ m = -2 \end{cases}\]

Таким образом, значение \(m = 2\) и \(m = -2\) позволяют прямой \(y = m\) пересекать график функции \(y = -2 - \frac{{x^4 - x^3}}{{x^2 - x}}\) ровно 2 раза.