Какие значения x в интервале [-2; 2] приводят к критическим точкам и экстремумам функции f(x)=x^3+6x^2-15x-22?

Сквозь_Песок_2071

14

Для того чтобы найти критические точки и экстремумы функции \(f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 22\) в заданном интервале \([-2; 2]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции \(f(x)\). Для этого возьмем каждый член функции и возьмем его производную по переменной \(x\):

\[f"(x) = (x^3 + 6x^2 - 15x - 22)" = (x^3)" + (6x^2)" + (-15x)" + (-22)" = 3x^2 + 12x - 15\]

2. Чтобы найти критические точки, нужно решить уравнение \(f"(x) = 0\). Решение этого уравнения даст значения \(x\), которые приводят к экстремумам функции \(f(x)\).
Подставим \(f"(x) = 0\):

\[3x^2 + 12x - 15 = 0\]

3. Решим полученное квадратное уравнение. Используя метод дискриминанта, найдем корни этого уравнения, которые могут быть критическими точками:

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(3x^2 + 12x - 15 = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 12\), \(c = -15\):

\[D = (12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 144 + 180 = 324\]

4. Обратимся к формуле для вычисления корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Используя полученное значение дискриминанта \(D = 324\), вычислим значения корней \(x_1\) и \(x_2\):

\[x_1 = \frac{{-12 + \sqrt{324}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-12 + 18}}{{6}} = 1\]

\[x_2 = \frac{{-12 - \sqrt{324}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-12 - 18}}{{6}} = -5\]

5. Проверим, лежат ли найденные значения \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -5\) в заданном интервале \([-2; 2]\). Оба значения лежат внутри интервала, поэтому они оба являются критическими точками функции \(f(x)\).

Таким образом, в заданном интервале \([-2; 2]\) найдены две критические точки \(x = 1\) и \(x = -5\), которые приводят к экстремумам функции \(f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 22\).