Какой центральный угол в развертке боковой поверхности конуса, если угол между высотой и образующей составляет 30°?

Ястреб

37

Для решения этой задачи, нам нужно знать основные свойства развертки боковой поверхности конуса. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор окружности, образованный образующей конуса и его проекцией на плоскость развертки. Цель состоит в том, чтобы найти центральный угол этого сектора окружности.

Давайте обозначим центральный угол, который мы ищем, как \(\angle ABC\). Поскольку у нас имеется угол между высотой и образующей, который составляет 30°, мы можем обозначить его как \(\angle BAC = 30^\circ\).

Теперь обратимся к свойствам конуса. Внутри конуса, у основания, имеется прямоугольный треугольник \(ABC\), где гипотенуза представляет образующую, а прямые углы образуются между образующей и высотой, и между образующей и основанием. Это внутренний угол искомого центрального угла. Поскольку прямые углы равны 90°, мы знаем, что \(\angle BCA = 90^\circ\) и \(\angle ABC = 90^\circ\).

Теперь у нас есть все необходимые углы для нахождения искомого центрального угла. Чтобы найти его, мы можем использовать свойство, что сумма центрального угла и вписанного угла, опирающегося на ту же хорду, равна 180° в окружности.

Так как центральный угол \(\angle ABC\) и вписанный угол \(\angle BAC\) опираются на одну и ту же хорду \(BC\), их сумма должна быть равна 180°. Мы знаем, что \(\angle BAC = 30^\circ\), поэтому у нас есть:

\(\angle ABC + \angle BAC = 180^\circ\)

\(\angle ABC + 30^\circ = 180^\circ\)

Теперь выразим центральный угол \(\angle ABC\):

\(\angle ABC = 180^\circ - 30^\circ\)

\(\angle ABC = 150^\circ\)

Таким образом, центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 150°.