Какие значения y принадлежат к точкам (x, y), где y = 1 - 3 cos²x: y = 1, y = -1, y = 2, y

Иванович

42

Чтобы определить, какие значения \( y \) принадлежат к точкам \( (x, y) \), где \( y = 1 - 3 \cos^2 x \), мы должны рассмотреть различные варианты значений \( y \) и найти соответствующие значения \( x \).

Для начала, давайте рассмотрим случай, когда \( y = 1 \). Подставим это значение в уравнение и решим его. Таким образом, имеем:

\[ 1 = 1 - 3 \cos^2 x \]

Из этого уравнения видно, что \( \cos^2 x = 0 \), так как иначе мы бы имели неравенство \( -2 < 0 \), что невозможно.

Таким образом, если \( y = 1 \), то \( \cos^2 x = 0 \). Решая это уравнение, получим:

\[ \cos^2 x = 0 \]
\[ \cos x = 0 \]

Наименьшее значение \( x \), для которого выполняется \( \cos x = 0 \), это \( x = \frac{\pi}{2} \). Таким образом, когда \( y = 1 \), соответствующая точка будет \( \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) \).

Теперь рассмотрим случай, когда \( y = -1 \). Подставим это значение в уравнение и решим его:

\[ -1 = 1 - 3 \cos^2 x \]

Выразим \( \cos^2 x \):

\[ \cos^2 x = \frac{2}{3} \]

Из этого уравнения видно, что у нас есть два возможных значения \( \cos x \): \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \) и \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \).

Определяя \( x \) из каждого возможного значения \( \cos x \), мы получим две соответствующие точки: \( \left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, -1\right) \) и \( \left(\arccos -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, -1\right) \).

Наконец, давайте рассмотрим случай, когда \( y = 2 \). Подставим это значение в уравнение:

\[ 2 = 1 - 3 \cos^2 x \]

Выразим \( \cos^2 x \):

\[ \cos^2 x = -\frac{1}{3} \]

Поскольку значения косинуса должны быть между -1 и 1, у нас нет решений для этого случая. То есть, точка \( (x, y) \) с \( y = 2 \) не существует.

Итак, резюмируя, значения \( y \), принадлежащие к точкам \( (x, y) \), где \( y = 1 - 3 \cos^2 x \), это:

\( (x, y) = \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) \) и \( \left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, -1\right) \) и \( \left(\arccos -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, -1\right) \).

Ни одна точка не соответствует \( y = 2 \).