1. Какой положительный элемент арифметической прогрессии -8,1; -7,9; -7,7; ... является первым? 2. Если первый и шестой

Ледяная_Душа

51

1. Чтобы найти первый положительный элемент арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

В данной задаче у нас даны первые три члена прогрессии: -8,1, -7,9 и -7,7. Мы замечаем, что разность между каждыми двумя последовательными членами равна 0,2.

Для того чтобы найти первый положительный элемент прогрессии, мы можем начать с первого члена прогрессии -8,1 и последовательно увеличивать \(n\) на 1, пока не получим положительный член. Давайте это сделаем.

У нас есть:
\(a_1 = -8,1\),
\(d = 0,2\).

Подставим эти значения в формулу и найдем \(n\):
\[a_n = -8,1 + (n-1)\cdot0,2\]

Подставим \(a_n > 0\) и найдем \(n\):
\[-8,1 + (n-1)\cdot0,2 > 0\]
\[0,2n - 0,2 - 8,1 > 0\]
\[0,2n - 8,3 > 0\]
\[0,2n > 8,3\]
\[n > \frac{8,3}{0,2}\]
\[n > 41,5\]

Итак, первый положительный элемент в этой арифметической прогрессии будет \(a_{42}\). Чтобы найти его, подставим \(n = 42\) в формулу для \(a_n\):
\[a_{42} = -8,1 + (42-1)\cdot0,2\]
\[a_{42} = -8,1 + 41\cdot0,2\]
\[a_{42} = -8,1 + 8,2\]
\[a_{42} = 0,1\]

Итак, первый положительный элемент арифметической прогрессии -8,1; -7,9; -7,7; ... является элемент \(0,1\).

2. Чтобы найти сумму первых десяти элементов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы элементов геометрической прогрессии \(S_n = a_1 \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}}\), где \(S_n\) - сумма первых \(n\) элементов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

В данной задаче у нас даны первый и шестой члены геометрической прогрессии, и нам нужно найти сумму первых десяти членов прогрессии.

У нас есть:
\(a_1 = 2\),
\(a_6 = 64\).

Мы можем использовать данные, чтобы найти \(r\):
\(a_6 = a_1 \cdot r^5\)
\(64 = 2 \cdot r^5\)
\(r^5 = 32\)
\(r = \sqrt[5]{32}\)

Теперь, используя значения \(a_1\) и \(r\), подставим их в формулу и найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии:
\[S_{10} = 2 \cdot \frac{{1 - (\sqrt[5]{32})^{10}}}{{1 - \sqrt[5]{32}}}\]

К сожалению, не все числа здесь могут быть точно рассчитаны без использования калькулятора. Но вы можете использовать эту формулу и ваш калькулятор, чтобы найти значение суммы.

3. Чтобы найти последовательные элементы геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\), где \(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

У нас даны выражения, которые являются первыми тремя членами геометрической прогрессии:
\(x + 1\),
\(x + 5\),
\(2x + 4\).

Чтобы найти значения \(x\), при которых эти выражения являются последовательными элементами геометрической прогрессии, мы можем создать следующее уравнение:
\[(x + 5) = (x + 1) \cdot r\]
\[(2x + 4) = (x + 5) \cdot r\]

Решим эти два уравнения, чтобы найти значения \(x\) и \(r\).